二次函数与几何图形中的动态问题探究.pdf
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1、二次函数与几何图形中的动态问题探究李祥平(山东省济宁市邹城市中心店中学 2 7 3 5 1 2)【摘要】二次函数与几何图形相结合的综合问题,不但考查学生二次函数和平面几何的基础知识,还考查数形结合、分类讨论等数学思想.其中的几何动态问题一直是初中数学学习的重中之重,要求学生求解时需利用运动变化的观点,综合运用所学知识解决问题.本文分析探究了二次函数与几何图形的几种动态问题,并针对每种动态问题列举了一道典型例题进行详细解答,以期望帮助学生对函数与几何相结合的知识有更全面的掌握.【关键词】二次函数;几何;动态1 点动变换问题例1 将抛物线y=a x2a0 向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得
2、到抛物线H:y=a x-h 2+k.抛物线H与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.已知A-3,0 ,点P是抛物线H上的一个动点.图1 图2(1)求抛物线H的解析式;(2)如图1,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,说明理由.分析 动点问题的一般解题思路:化动为静,让运动的点在某个时刻停止下来,分析此刻变量间的关系;利用好对称性,如果是二次函数的题一定要利用好图象的对称性;关系法:根据图形找出已知条件间的关系,列出方程,将几何问题转化为代数问题来解决.解(1)由题意得抛物
3、线H的顶点坐标为-1,4 ,得抛物线H:y=a x+1 2+4,将A-3,0 代入,得a-3+1 2+4=0,解得a=-1,所以,抛物线H的解析式为y=-x2-2x+3.(2)在抛物线H上,存在点P,使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形.当A C为平行四边形的边时,有P QA C,且P Q=A C,如图1,过点P作P Gl,垂足为G,设A C交对称轴l于点N,则ANG=A C O=P Q G.在P Q G和A C O中,有P G Q=AO CP Q G=A C OP Q=A C ,所以P Q G A C O A A S ,所以P G=A O=3,点P到对称轴的距离为3,设点P x,
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