广义多项式结构稳健宽带波束形成器优化设计.pdf
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1、ISSN 10049037,CODEN SCYCE4Journal of Data Acquisition and Processing Vol.38,No.6,Nov.2023,pp.1307-1318DOI:10.16337/j.10049037.2023.06.007 2023 by Journal of Data Acquisition and Processinghttp:/Email:sjcj Tel/Fax:+8602584892742广义多项式结构稳健宽带波束形成器优化设计许志强,陈华伟(南京航空航天大学电子信息工程学院,南京 211106)摘要:传统多项式结构宽带波束形成器的
2、设计一般采用有限冲激响应(Finite impulse response,FIR)滤波器。本文通过使用正交基滤波器替代传统设计中的 FIR 滤波器,提出了一种广义多项式结构宽带波束形成器。所提多项式结构宽带波束形成器可视为传统多项式结构宽带波束形成器的推广,因而结构上更为灵活。为增强广义多项式结构宽带波束形成器的鲁棒性,进一步提出了基于平均性能优化准则的稳健优化设计方法。该方法通过粒子群算法对正交基滤波器中的极点进行优化,以利用极点所提供的自由度提高多项式结构宽带波束形成器的性能;同时通过引入阵列响应的空间导数约束,减小了由有限次多项式插值所造成的波束主瓣指向偏差。仿真结果表明,与传统多项式结
3、构设计方法相比,所提设计方法能够获得更好的频率不变性和鲁棒性,且有效改善了波束主瓣指向的精准度,提高了多项式结构宽带波束形成器的指向性指数。关键词:多项式结构波束形成器;正交基滤波器;平均性能优化;空间导数约束;指向偏差中图分类号:TN911.7 文献标志码:AOptimal Design of Generalized Polynomial Broadband Beamformers with RobustnessXU Zhiqiang,CHEN Huawei(College of Electronic and Information Engineering,Nanjing Universit
4、y of Aeronautics&Astronautics,Nanjing 211106,China)Abstract:Finite impulse response(FIR)filters are generally used in the design of traditional polynomial broadband beamformers.A generalized polynomial broadband beamformer is proposed by using the orthogonal basis filter instead of FIR filter of the
5、 traditional design in this paper.The proposed polynomial broadband beamformer can be regarded as an extension of the traditional polynomial broadband beamformers,so its structure is more flexible.In order to enhance the robustness of the generalized polynomial broadband beamformer,a robust optimiza
6、tion design method based on average performance optimization criterion is further proposed.The poles of the orthogonal basis filter are optimized by particle swarm optimization in this method,so that the performance of the polynomial broadband beamformer can be improved by using the freedom provided
7、 by the poles.By introducing the spatial derivative constraint of array response,the orientation deviation of beam mainlobe caused by finite polynomial interpolation is reduced.The simulation results show that,compared with the traditional design method of polynomial structure,the proposed design me
8、thod can obtain better frequency invariant performance and robustness,effectively improve the orientation accuracy of beam mainlobe,and improve the directivity index of polynomial broadband beamformers.基金项目:国家自然科学基金(61971219)。收稿日期:20221010;修订日期:20230315数据采集与处理 Journal of Data Acquisition and Process
9、ing Vol.38,No.6,2023Key words:polynomial beamformer;orthogonal basis filter;average performance optimization;spatial derivative constraint;orientation deviation引言宽带波束形成是阵列信号处理领域的一项重要技术,在雷达、声呐、无线通信以及音频处理等系统中具有广泛应用13。在音频处理系统中,传统的宽带波束形成器为滤波求和结构,即通过将每个阵元后有限冲激响应(Finite impulse response,FIR)滤波器的输出叠加,从而获取宽
10、带波束形成器的输出。在某些应用场景中,声源可能在一定范围内移动,当入射方向发生变化时,传统的宽带波束形成器需要重新计算波束形成器权值,不便于实时实现。针对这一问题,具有主瓣指向可调的宽带波束形成器设计引起了很多研究者的重视47。其中代表性的一类为多项式结构宽带波束形成器,其结构由前端的滤波模块和后端的调向模块两大部分组成,与传统宽带波束形成器相比,每个阵元所接的是一组 FIR 滤波器而不再是单个滤波器。多项式结构宽带波束形成器的主瓣调向实现简单,且适用于任意阵列几何结构814。实际应用中,麦克风往往不可避免存在增益和相位失配误差。麦克风失配误差的存在通常会对宽带波束形成器的性能造成影响,因此设
11、计鲁棒的波束形成器非常必要。已有的多项式结构鲁棒宽带波束形成器设计方法包括:白噪声增益约束设计1011、平均性能优化设计12和最差平均性能优化设计13等。例如文献1011 将白噪声增益约束纳入基于最小二乘的多项式结构波束形成器设计中,有效提高了多项式结构宽带波束形成器的鲁棒性。文献 12 则通过将麦克风增益与相位的概率密度函数纳入最小二乘的多项式结构设计公式中,对代价函数进行概率密度加权求和,得到了平均性能优化下的鲁棒多项式结构波束形成器设计。文献 13 仅利用麦克风失配误差的有限统计量信息,提出了最差平均性能优化下的鲁棒多项式结构设计。另外,文献 14 还提出了具有频率不变特性的鲁棒设计,保
12、证了阵列响应的频率不变性以减小信号失真,同时也具备了一定的抗失配误差能力。在正交基函数构造的滤波器基础上15,本文对上述现有的多项式结构宽带波束形成器进行了推广,提出了一种广义多项式结构宽带波束形成器。特别地,现有的多项式结构宽带波束形成器可以视作所提波束形成器的一种特例,即对应于正交基滤波器的极点为零。广义多项式结构宽带波束形成器通过极点的调节,增加了设计的自由度,因而有望获得比现有多项式结构宽带波束形成器更好的性能。另外,考虑到有限次多项式插值产生的截断误差导致主瓣指向出现偏差的问题,还通过引入阵列响应处的空间导数约束降低了主瓣的指向偏差。仿真结果表明,与现有的多项式结构波束形成器设计方法
13、相比,所提设计方法能够有效降低主瓣指向偏差,并且进一步提升了波束形成器的指向性指数。1 广义多项式结构宽带波束形成器的结构 考虑远场情况下 K 个麦克风组成的均匀线阵,每个麦克风后接有 M 个抽头数为 N 的正交基滤波器。所提的广义多项式结构宽带波束形成器的结构如图 1所示,其中Hn(z)=1-|n21-nz-1 n=0,1,N-1Gi(z)=z-1-i1-iz-1 i=0,1,n-1(1)式中:n为正交基滤波器在抽头n处的可调参数,也被称作正交基滤波器的极点,且|n|1。特别地,当n=0时,Hn(z)=1,Gi(z)=z-1,此时正交基滤波器退化成传统的 FIR 滤波器。因此,广义多项式结构
14、波束形成器可看作传统的多项式结构波束形成器的一种扩展形式。1308许志强 等:广义多项式结构稳健宽带波束形成器优化设计在频率 f和入射角度 处,广义多项式结构宽带波束形成器的阵列响应为P(,f,)=k=0K-1m=0M-1n=0N-1Ak(f,)wk,m,nhk(f,)sm()Fn(f)(2)式中hk(f,)=e-j2fdkcos(/c)(3)sm()=(-90)/90(M-1-m)(4)Fn(f)=Hn(ej2f/fs)i=0n-1Gi(ej2f/fs)=1-|n21-ne-j2f/fsi=0n-1e-j2f/fs-i1-ie-j2f/fs(5)式 中:wk,m,n为 滤 波 器 的 抽 头
15、 权 值,k=0,1,K-1;m=0,1,M-1;n=0,1,N-1;Ak(f,)=ak(f,)e-jk(f,),ak(f,)和k(f,)分别为第 k个麦克风的增益和相位,hk(f,)为声源信号到第 k个麦克风的传递函数,sm()为第 m阶滤波器的归一化调向函数,Fn(f)为正交基滤波器的第 n个抽头时延因子;dk为第 k个麦克风与参考中心的距离,c为空气声速,为波束形成器的主瓣期望指向角度,fs为信号采样频率。图 1广义多项式结构宽带波束形成器Fig.1Structure of the generalized polynomial broadband beamformer1309数据采集与处
16、理 Journal of Data Acquisition and Processing Vol.38,No.6,2023为简化表示,式(2)的向量形式可写成P(,f,)=wTg (,f,)(6)式中:w=w0,0,0w0,M-1,0,w0,0,1w0,M-1,1,wK-1,0,N-1wK-1,M-1,N-1T表示多项式结构波束形 成 器 的 权 值 矢 量,g (,f,)=A(f,)d(f,)F(f)s()表 示 波 束 形 成 器 的 导 向 矢 量,d(f,)=h0(f,),h1(f,),hK-1(f,)T,F(f)=F1(f),F2(f),FN-1(f),s()=s0(),s1(),s
17、M-1()T;“”表示 Hardmard积,“”表示 Kronecker积。2 广义多项式结构稳健宽带波束形成器的优化设计 2.1优化问题的构建在实际应用中,为了克服麦克风增益及相位等失配误差带来的影响,需要设计鲁棒波束形成器,而为了减小信号的失真,也要考虑波束形成器的频率不变设计。为实现波束形成器的频率不变性,首先引入空间响应变化(Spatial response variation,SRV)函数的概念,其定义为14SRV=i=0I-1j=0J-1l=0L-1|wTg (i,fj,l)-wTg (i,fref,l)2(7)式中:i=0,1,I-1;j=0,1,J-1;l=0,1,L-1;I为
18、可调范围的插值点数;J和L分别为频率离散点数和入射角度离散点数;fref为参考频率。通过式(7)便可让频率范围内各个频点的波束响应逼近设定的参考频点处的波束响应,从而实现频率不变设计。为了保证波束形成器的鲁棒性,采用平均性能优化设计将麦克风的特征进行累加,对误差的概率密度函数进行加权求和,结合式(7),波束形成器的代价函数可写为Jtot=A0A1AK-1 i=0I-1j=0J-1l=0L-1|wTg (i,fj,l)-wTg (i,fref,l)2+i=0I-1v=0V-1|wTg (i,fref,v)2fA(A0)fA(A1)fA(AK-1)dA0dA1dAK-1(8)式中:SRV 约束右侧
19、带有参数的项式为限制阻带大小的惩罚项,主要用来调节阻带级大小与频率不变性之间的权衡,fA(A)=f,(a,)代表麦克风幅度和相位的联合概率密度。这里采用文献 11 中通用的假设条件:不同麦克风的失配误差特征Ak,k=0,1,K-1相同;麦克风幅度与相位误差相互独立,fA(A)=f(a)f(),其中f(a)为幅度的概率密度函数,f()为相位的概率密度函数。为简化表达,将式(8)写成矩阵形式,并提出如下的优化设计问题min,w wTQw(9a)s.t.wTg (i,fref,i)=1 i=0,1,I-1 (9b)wTRe g (i,fref,)|=i=0 i=0,1,I-1 (9c)式中Q=A0A
20、1AK-1Re i=0I-1j=0J-1l=0L-1 g (i,fj,l)-g (i,fref,l)g (i,fj,l)-g (i,fref,l)H+i=0I-1v=0V-1g (i,fref,v)g (i,fref,v)HfA(A0)fA(A1)fA(AK-1)dA0dA1dAK-1=A0A1AK-1A(f,)QA(f,)HfA(A0)fA(A1)fA(AK-1)dA0dA1dAK-1(10)1310许志强 等:广义多项式结构稳健宽带波束形成器优化设计式中g(,f,)=d(f,)F(f)s()(11)A(f,)=IMN diag A0(f,),A1(f,),AK-1(f,)(12)Q=Re
21、i=0I-1j=0J-1l=0L-1 g(i,fj,l)-g(i,fref,l)g(i,fj,l)-g(i,fref,l)H+i=0I-1v=0V-1g(i,fref,v)g(i,fref,v)H(13)式中:g(,f,)为理想情况下阵列的导向矢量,IMN为(MN MN)的单位矩阵。式(9a)中的代价函数不仅包括权值,也含有正交基滤波器极点,通过极点调节可以让设计自由度变得更大,从而获得更好的性能,后文将根据极点值是否变化分别对优化问题(9)进行讨论。式(9b)则为无失真约束,一方面是为了避免平凡解的出现,另一方面是为了期望方向上信号的无失真。除此之外,与现有设计不同的是,式(9c)中另外添加
22、了空间导数约束,即阵列响应在期望方向上最大时,其导数在期望方向上的值应当为零,通过添加此约束以减小波束形成器的主瓣指向偏差。2.2给定极点下的权值求解对于给定的阵列响应,其主瓣指向位置对应于阵列响应幅值的最大值点,若主瓣实际指向与期望指向一致,阵列响应幅值平方关于角度的空间导数在期望角度上等于零,即在=处应当满足以下条件|P(,f,)2=0(14)考虑到式(6),可得|P(,f,)2=|wTg (,f,)2=wTg (,f,)g H(,f,)w=wTg (,f,)g H(,f,)w+wTg (,f,)g H(,f,)w(15)将式(15)代入式(14),因为期望方向上需满足阵列响应的无失真约束
23、wT(f)g (,f,)=1,式(15)可进一步转化为|P(,f,)2=|wTg (,f,)+g H(,f,)w =|wTg (,f,)+wTg (,f,)H =|2Re wTg (,f,)=|2wTRe g (,f,)=0(16)最终便可得到参考频点处的空间导数约束|wTRe g (i,fref,)=i=0 i=0,1,I-1(17)为了求解上述优化问题,还需要对式(9)中各项进行化简。为此,这里定义1311数据采集与处理 Journal of Data Acquisition and Processing Vol.38,No.6,2023a=aaf(a)da(18)2a=aa2f(a)da
24、(19)c=cos f()d(20)s=sin f()d(21)那么,Q的第(p,q)个元素可以写为Q(p,q)=A0A1AK-1ame-jmQ(p,q)ane-jnfA(A0)fA(A1)fA(AK-1)dA0dA1dAK-1=amanamanf(am)f(an)damdanmne-j(m-n)f(m)f(n)dmdn Q(p,q)(22)当m=n时Q(p,q)=ama2mf(am)damQ(i,j)=2aQ(p,q)(23)否则Q(p,q)=2acQ(p,q)(24)式中,c=(c)2+(s)2,结合式(1824),有Q=(2a-2ac)diag(1K 1)+2ac1K K 1MN MNQ
25、(25)式中1m n为m n的全 1矩阵。对于式(9b)中的导向矢量,当存在麦克风失配误差时g (i,fref,i)=A0A1AK-1g (i,fref,i,A0,A1,AK-1)fA(A0)fA(A1)fA(AK-1)dA0dA1dAK-1 Re g (i,fref,i)+jIm g (i,fref,i)(26)将增益误差和相位误差的概率密度函数代入式(26),可得Re g =acRe g(i,fref,i)+asIm g(i,fref,i)(27)Im g =acIm g(i,fref,i)-asRe g(i,fref,i)(28)对于式(9c)中的空间导数约束,由式(11)和式(27),
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