用样本的数字特征估计总体的数字特征教学设计(刘子丽).docx
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1、二项式定理(一)教学设计贵州省铜仁第一中学 沈琦 一、教学内容解析1.3.1二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修2-3第一章第三部分第一节的内容,这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续,也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,并能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展,它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例,在组合
2、理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用,因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学,进一步提高学生的归纳演绎能力,让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。二项式定理本身是教学重点,因为它是后面各种应用的基础通项公式,二项式系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点这是
3、因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识
4、体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习。三、教学目标设置1.知识技能目标(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广。(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理。(3)掌握对简单的二项式进行展开,能够对项的系数与二项式系数进行区分,并能求出指定项。2.过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、归纳的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。3.情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简捷和严谨。四、教学重点、难点重点:用两个计数原理分
5、析的展开式得到二项式定理;掌握二项展开式的通项公式;能应用它解决一些简单问题。难点:用两个计数原理分析推导的展开式;用两个计数原理证明二项式定理。五、教学过程教学程序问 题设计意图师生活动创设问题情境引入新课引出问题:如果今天是星期五,14天后的这一天是星期几呢?23天后的这一天呢?师生归纳:比如23=73+2,所以23天后是星期日。算法:用各个数除以7,看余数是多少,再用五加余数来推算师:再过82016天后是星期几,你知道吗?不方便求出82016除以的余数,可以利用8=7+1,得到82016=(7+1)2016=?如果不用计算器的话,此时就需要研究提出问题激发学生探索欲望,并引出课题让学生用
6、计算器计算从特殊开始由(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2(a+b)=?结果:体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。与学生一同计算,得到计算结果,为后面做铺垫。探究一:通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后项的形式为:项的系数,考虑,:每个都不取的情况有1种,即 ,则前的系数为:恰有1个取的情况有种,则前的系数为:恰有2个取的情况有 种,则前的系数为:恰有3个取的情况有 种,则前的系数为所以 考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。学生说出自己的思路,老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。探究二:观察展开式
7、中的项数、指数变化以及系数变化,你发现了什么?由此猜想(a+b)4 ,(a+b)n的展开式中项数,指数变化及系数变化又如何呢?并试着写出他们的展开式。回答: 让学生通过特例去观察相同之处与不同之处,以及不同之处的处理方法,从而提出猜想。学生先观察总结特点:1.项数是指数加1;2.字母a按降幂排列,字母b按照升幂排列,二者指数之和是二项式指数;3、每一项的系数有上面的问题2给出,这很好的突破了本节的难点。探究三:对于猜想我们如何进行证明呢?证明:是n个相乘,每个在相乘时,有两种选择,选a或选b,由分步计数原理可知展开式共有项(包括同类项),其中每一项都是的形式,对于每一项,它是由r个选了b,nr
8、个选了a得到的,它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理让学生体会利用组合思想从特殊到一般,对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。师生讨论证明思路,通过阅读课本上的证明过程,老师最后做出方法归类,提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。思考观察学习新课观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点,谁最具代表性?(1)项:二项展开式共有项;(2)次数:各项的次数都等于n;字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n (3)二项式系数:(4)二项展开式的通项:=考察学生
9、的观察力,以及分析问题的能力。学生继续总结这三点,以强化已有的认识,同时老师强调:二项式系数,与二项展开式系数的区别。特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=2x. 写出的展开式对二项式定理的简单应用,同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法:赋值或是赋表达式。学生自主完成,老师进行检查,通过投影仪将学生的结果进行展示,错误时做出点拨与分析。破解疑惑今天是星期五, 再过82016天后是星期几,你知道吗?即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷,增强对数学学习的热情,学生提出解决思路,老师点评分析,怎么才能被7
10、整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式,问题得到解决,留为课下计算。精讲精析巩固新知再探索对于的展开式思考1:展开式的第2项的系数是多少?思考2:展开式的第2项的二项式系数是多少?思考3:你能否直接求出展开式的第2项? 熟悉二项式定理,以及对二项式系数,展开式系数,以及x的系数问题的理解与记忆。教师板演过程,给学生以示范,为后面步骤的整洁做铺垫。反馈练习课堂练习1、求的展开式的第三项2、求的展开式的第三项熟悉二项式定理,二项式系数,二项展开式系数,以及通项的初步应用,理解二项式展开式的项的顺序。学生自主练习,反馈教学效果,老师巡视做个别辅导。课堂小结本节课你学习了什么知识,他是怎么得到的呢?在
11、学习这部分知识时要注意什么呢?让学生回顾本节要点,观察学生掌握情况。学生说,教师课件演示,并强调:二项式系数与二项展开式系数的区别。布置作业课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究:用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固本节课的所学内容和知识。六、板书设计1.3.1二项式定理(1)项:二项展开式共有项;(2)次数:各项的次数都等于n;字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n (3)二项式系数:(4)二项展开式的通项:=例题1例题2练习1 练习2作业:课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究:用数学归纳法证明二项式定理(根据课堂教学活动的推荐,反复使用。)
12、7二项式系数的性质教学设计江西省新余市第一中学 聂生庚北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教学内容解析1二项式系数的性质是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。以前面学习的二项式定理为基础,通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质,培养学生的“符号意识”和抽象概括能力; 通过二项式系数组成的数列是一个离散函数,引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质,培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养,培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等,也有利于学生理解
13、本节课的核心数学知识,发展其数学应用意识、创新精神。2本节课的教学内容属于事实性知识,其特点是易懂却难于上升到理性的解释。3本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上,又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形,巩固二项式定理,巩固旧知拓展新知,建立知识的前后联系有重要的作用。4从知识发生发展过程的角度上看,学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律,能很自然地联系到上位知识,即组合数的性质与二项式系数的联系,但对于高二的学生,其思维不能仅满足于“知其然”,他们更应渴望的是“知其所以然”。故在老师适当的点拨下,学生
14、通过师生合作完成知识发展过程,这符合学生的认知规律,也体现了互助学习的价值观教育。另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一,彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能,抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育,激励学生的名族自豪感,了解数学文化的发展与价值。二、教学目标设置教学目标:1掌握二项式系数的基本性质及证明方法;2通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程,提高学生的数学素养,体会从函数角度研究问题的过程,体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式,培养学生问题意识,培养学生团结协作的精神,
15、提高学生思维能力,孕育学生创新精神,激发学生探索热情. 同时,通过了解我国古代数学的伟大成就,培养学生的爱国情感,增强民族自豪感。教学重点、难点:1教学重点:观察,讨论交流到归纳二项式系数的性质,培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力; 2教学难点:从函数的角度,理解二项式系数的增减性与最大值,并论证。三学情分析知识上学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质等,已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。同时对于高二的学生也已经基本接触了高中四大数学思想方法,即函数与方程、数形结合、转化化归、分类讨论思想,为突破本节课的难点奠定了基础。学生在数学学科的学习特点存在较大的差
16、异,而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动,学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式,学生能够克服学习差异性问题。学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力,课堂上学生在教师的适当指导下,能够完成本节课的难点,即:二项式系数的性质的证明。四、教学策略分析本节课的教材编写的特点是把所要研究的问题都以结论的形式直接呈现。若以讲授的形式来完成教学过程,学生理解、掌握知识应不难,但可能造成学生学习兴趣缺失,学习能力得不到有效的提高,被动参与到学习过程中,无法体现学生的主体地位,。故而,教学上我们应从学生的认知规律出发,去暴露知识的发生、发展过程,指导学生积极参与到教与学的双边活动中去。1根据教学内
17、容的特点,实现情感目标,本节课先结合“杨辉三角”这个历史材料,对学生进行情感教育并以此激发学生学习的热情。2依据知识的发生发展过程和学生的思维规律,本节课从布置课前探究,到课上合作交流完成规律展示,再从函数角度理解并证明性质,在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性和深刻性,为不同认知基础的学生提供合理的学习机会和学习反馈的机会。3为突出重点,本节课采用学生课前自主探究,课堂上分组讨论的方式,教师采用启发观察和问题引导的方式,引导学生主动参与提出问题和解决问题的过程。按照“观察规律归纳性质推理论证反馈升华”的环节来理解和掌握内容。螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想。4为突破难点,由师
18、生共同完成对结论的推理证明。在结论的推证过程中培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及掌握应用数学思想方法解决问题的能力。五、教学过程1.课前预习及探究活动:(1)预习本节课内容;(2)查阅“杨辉三角”的历史资料,要求能谈谈对杨辉三角的认识;(3)自主探究二项式系数的性质,并整理成小论文.【设计意图】引导学生开展课前预习及探究活动,其一:能帮助学生了解“杨辉三角”的历史及其包含的规律,弘扬我国古代数学文化;其二:课前布置自主探究二项式系数的性质,长期开展这种学习活动,能提高学生动手动脑能力,归纳能力,也为本节课深入探究二项式系数的性质打下良好的基础,其三:鉴于课堂时间有限,学生占用课堂的时间用
19、于自主探究活动也受限,应有机结合课前、课上、课后的探究学习活动,提高课堂效率。2. 复习引入由学生集体回忆前面学过的相关知识:(1)二项式定理及其特例;(2)二项展开式的通项公式;(3)二项式系数【设计意图】通过复习引入,调动学生已有的相关知识,对本节课的学习起到承上启下的作用。3.探索新知【活动一】初识二项式系数表及杨辉三角计算展开式中二项式系数填入到表格中:然后介绍“杨辉三角”。【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算,并发现二项式系数具有的一些规律;同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律,进而引发思考:如何排表更方便观察呢?借此自然的引出“杨辉三
20、角”。通过对“杨辉三角”的介绍,让学生了解我国古代数学的伟大成绩,加强学生的爱国情感教育。【活动二】合作交流探究二项式系数的性质先观察二项式系数表,探究二项式系数的数字规律。然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法,尝试着证明这些性质。最后请同学代表展示学习成果。在观察二项式系数的数字规律这一环节,教师充分引导学生从不同的角度观察,如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等等;那又看什么呢?可以看大小、看关系、看和等等。“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”让学生感受从多角度对待同一事物的妙处。【设计意图】学生通过教师的引导,学习感受从多角度认识同一事物。经过独立的思考,为交流
21、合作做好铺垫;通过学习小组的交流合作,及成果展示,让学生的不同想法得以展示,获得学习成功的成就感,并且可以对课本上没有出现的性质补充或者证明,充分肯定学生在学习中的创新精神。【活动三】如何证明二项式系数的性质问题1.如何证明?思考问题:展开式中项的系数是 ;展开式中项的系数可以表示为 ;通过以上的两个问题,你联想到了二项式系数的哪个性质?【设计意图】通过归纳,抽象概括出二项式系数的性质,该性质是组合数的性质之一,在之前的学习有过证明,此处通过结合二项式定理的知识,另辟途径给出一个别样的证明方法,让学生学习活学活用知识,并感受思想方法的多样性和重要性。问题2.如何证明展开式的二项式系数的增减性与
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