《数学物理方法》课程二.ppt
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1、主讲教师:冉扬强 数学物理方法 第二章 解析函数 主要内容 (1)、复变函数导数的概念 (2)、哥西黎曼条件及复变函数可微 的充要条件 (3)、解析函数的定义,已知解析函数 的实部(或虚部)求该解析函数的方法 (4)、共轭调和函数的概念,解析函数 的几何意义 (5)、初等函数的定义和基本性质 重点:哥西黎曼条件;解析函数的定义 ; 已知解析函数的实部(或虚部)求该解析 函数的方法;共轭调和函数的概念及其几何 意义;初等函数的定义和基本性质 难点:初等多值函数及其支点,支割线的 概念;已知解析函数的实部(或虚部)求该解 析函数的方法 重点和难点 2.1 解析函数 一、导数的定义 设函数 在区域D
2、上有定义, 且 ,如果极限 存在,则称此极限为函数 在z 点的导 数,记为: 或 ,这时称函数 在z 点可微 (或可导). 显然,函数 必须在点z 连续,才有可 能在 z 点可导. 讨论: 1) 复变函数导数的定义,在形式上跟实变函 数的导数定义一样,因而实变函数论中的关于导 数的规则和公式可用于复变函数。例如: 2)复变函数和实变函数的导数的定义,虽然 形式上相同,实质上却有很大的区别,这是因为 实变函数 只沿实轴逼近零,而复变函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零,因此复变 函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得 多. 二、哥西-黎曼条件 下面讨论复变函数可微的充分必要条件 1、必要条
3、件: 若 在 处可微 ,即 若记 , 其中, 则前式可变为 由于 无论按何方式趋于零,上式总成立。先 看 沿实轴趋于零的情况。此时 再让 沿虚轴趋于零。此时 比较两式得 哥西-黎曼条件(CR条件 ) 讨论: 1) C-R条件为复变函数可微的必要条件, 凡不满足C-R条件的函数,它在该点一定不可微 . 例如 ,所以: 由于 由于偏导数虽然存在,但不满足C-R条件, 因而 在复平面上处处不可微. 2) C-R条件不是复变函数可微的充分条件 . 例如:函数 在z = 0点满足C-R条件 ,但不可微。由于 , ,于是 显然满足C-R条件,但在z=0点并不可微,因为 当 沿射线 趋于零时, 与k 有关,
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