离散时间信号和系统理论知识介绍.pptx
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1、 1.1 离散时间信号序列 1.2 线性移不变系统 1.3 常系数线性差分方程 1.4 连续时间信号的抽样 第1章 离散时间信号和系统天津师范大学计算机与信息工程学院 1.1 离散时间信号序列 1.1.1 序列的定义 1.1.2 序列的基本运算 1.1.3 常用的基本序列 1.1.4 序列的周期性 1.1.5 用单位脉冲表示任意序列 天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.1 序列的定义 信号在数学上定义为一个函数,这个函 数表示一种信息,通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是关于一个或几个独立变量的,关于一个独立变量的信号称为一维信号,关于多个独立变量的信号称为多维信号。在本
2、中,主要 的信号是一信号x(t), 一般情况下x(t)随化的信号,称 信号或域信号。天津师范大学计算机与信息工程学院 若t是定义在时间上的连续变量,称x(t)为连续时间信号,也就是模拟信号;若t仅在时间的离散点上取值,称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT) ,T 表示的是采样点之间的时间间隔,n是一个整数。 离散时间信号可以表示成下列形式: x(nT) n=0,1,2,3,. 天津师范大学计算机与信息工程学院 在大多数DSP系统中,x(nT)的存放是按n下标来放置的,不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此,将x(nT
3、)表示为x(n),这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为: x(n) n=0,1,2,3,.x(n)定在n等于整数点上,在n不等于整数点上,x(n)没有定,但并不表示信号 零。从数学的角度看,上面的定式表示一个序列,所以也把离散时间信号称作离散时间序列,常常化x(n) 。 天津师范大学计算机与信息工程学院 序列除了数学表达式外,还常常采用图形方式来表示,如图1.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线,但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。图1.1 离散时间信号的图形表示 天津师范大学计算机与信息工程学院 离散时间信号在幅度上定义成连续 的,如果将幅度进行量化,一般为等间隔量化。在时间和幅
4、度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此,离散时间信号并不等于数字信号,但由于数字信号是幅度量化得到的,在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易,所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.2 序列的基本运算 和和 积积 移位移位 标乘标乘 翻转翻转 累加累加 差分差分 时间尺度变换时间尺度变换 序列的能量序列的能量 卷积和卷积和天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的和 设序列为设序列为x x( (n n) )和和y y( (n n) ),则序列,则序列z z( (n n) )= x= x( (n n) )+ y+ y( (n n
5、) ) 表示两个序列的和,定义为表示两个序列的和,定义为同序号同序号的序的序列值列值逐项对应逐项对应相加。相加。天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的和例例1.1.11.1.1 设序列设序列计算序列的和计算序列的和x x( (n n)+ )+ y y( (n n) )。解:解:天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列求和图示天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的积 设序列为设序列为x x( (n n) )和和y y( (n n) ),则序列,则序列z z( (n n) )= x= x( (n n) ) y y( (n n) ) 表示两个序列的积,定义为表示两个序列的积,定义为同序号
6、同序号的序的序列值列值逐项对应逐项对应相乘。相乘。天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的积例例1.1.21.1.2 设序列设序列计算序列的积计算序列的积x x( (n n) ) y y( (n n) )。解:解:天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列求积图示x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的移位 设序列为设序列为x x( (n n) ),则序列,则序列y y( (n n)= )= x x( (n n- -mm) ) 表示将序列表示将序列x x( (n n) )进行移位。进行移位。 mm为正时为正时x x( (n n - -mm) ):x x( (n n) )逐项依次逐
7、项依次延时延时( (右移右移) )mm位位x x( (n n+ +mm) ):x x( (n n) )逐项依次逐项依次超前超前( (左移左移) )mm位位 m m为负时,则为负时,则相反相反。天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的移位例例1.1.31.1.3 设序列设序列计算序列的移位序列计算序列的移位序列x x( (n n+1)+1)。解:解:天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列移位图示x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的标乘 设序列为设序列为x x( (n n) ),a a为常数为常数(a 0)(a 0),则序列,则序列y y( (n n)= a)= ax x(
8、(n n) ) 表示将序列表示将序列x x( (n n) )的标乘,定义为的标乘,定义为各序列值各序列值均乘以均乘以a a,使新序列的,使新序列的幅度幅度为原序列的为原序列的a a倍。倍。天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的标乘例例1.1.41.1.4 设序列设序列计算序列计算序列4 4x x( (n n) )。解:解:天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的翻转 设序列为设序列为x x( (n n) ),则序列,则序列y y( (n n)= )= x x(- (-n n) ) 表示以表示以n n= 0= 0的的纵轴为对称轴纵轴为对称轴将序列将序列x x( (n n) )加加以翻转
9、。以翻转。天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的翻转例例1.1.51.1.5 设序列设序列计算序列计算序列x x(- (-n n) )。解:解:天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的累加 设序列为x(n),则序列 定义为对x(n)的累加,表示将n 以前的所有x(n)值求和。天津师范大学计算机与信息工程学院例: 序列的累加 设序列为则其累加序列即 y(0)=x(0)=1, y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3, y(2)=y(1)+x(2)=7天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的差分 前向差分:将序列前向差分:将序列先先进行进行左移左移,再相减,再相减x(n
10、) = x(n+1)- x(n) x(n) = x(n+1)- x(n) 后向差分:将序列后向差分:将序列先先进行进行右移右移,再相减,再相减x(n) = x(n)- x(n-1) x(n) = x(n)- x(n-1) 由此容易得出由此容易得出x(n) = x(n-1)x(n) = x(n-1)天津师范大学计算机与信息工程学院多阶差分运算 二阶前向差分二阶前向差分 二阶后向差分二阶后向差分 单位延迟算子单位延迟算子D D,有,有 DyDy( (n n)= )= y y( (n-n-1) 1) y y( (n n)= )= y y( (n n)- )- y y( (n-n-1)= 1)= y
11、y( (n n)- )- Dy Dy( (n n)= (1- )= (1- D D) )y y( (n n) )= 1-= 1-D D k k 阶后向差分阶后向差分(按二项式定理展开)二阶后向差分二阶后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院例: 差分运算例1.1.6 设序列 求x(n)x(n)和和x(n)x(n)。解:解:前向差分前向差分 天津师范大学计算机与信息工程学院例: 差分运算后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算时间尺度(比例)变换 设序列为设序列为x x( (n n) ),mm为正整数,则序列为正整数,则序列 抽取序列:抽取序列:y y( (n n)= )= x x( (
12、mnmn) ) x x( (mnmn) ) 和和x x( (n/mn/m) )定义为对定义为对x(n)x(n)的时间尺度变的时间尺度变换。换。 插值序列:插值序列: 天津师范大学计算机与信息工程学院抽取序列 x x( (mnmn) ):对:对x x( (n n) )进行抽取运算进行抽取运算 不是简单在时间轴上按比例增加到不是简单在时间轴上按比例增加到mm倍倍 以以1/1/mm倍的取样频率倍的取样频率每隔每隔mm-1-1个点个点抽取抽取1 1点。点。 保留保留 x x(0)(0)天津师范大学计算机与信息工程学院插值序列 x x( (n/mn/m) ) :对:对x x( (n n) )进行插值运算
13、进行插值运算 表示在原序列表示在原序列x x( (n n) )相邻两点相邻两点之间插入之间插入mm-1-1个零个零值点值点 保留保留 x x(0)(0)天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的能量 设序列为设序列为x x( (n n) ),则序列,则序列 定义为序列的能量,表示序列各取样值的定义为序列的能量,表示序列各取样值的平方平方之和;之和; 若为复序列,取若为复序列,取模值模值后再求平方和。后再求平方和。天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算序列的卷积和 设序列为设序列为x x( (n n) )和和z z( (n n) ),则序列,则序列 定义为序列定义为序列x x( (n n)
14、 )和和z z( (n n) )的的卷积和卷积和。卷积和卷积和又称为又称为离散卷积离散卷积或或线性卷积线性卷积,是,是很重要很重要的公的公式。式。天津师范大学计算机与信息工程学院卷积和计算的四个步骤 翻转翻转:x x( (mm) ) ,z z( (mm) ) z z(- (-mm) ) 移位移位:z z(- (-mm) ) z z( (n n- -mm) ) n n为正数时,右移为正数时,右移n n位位 n n为负数时,左移为负数时,左移n n位位 相乘相乘:z z( (n n- -mm) ) x x( (mm) ) (mm值相同)值相同) 相加相加:y y( (n n) =) =z z( (
15、n n- -mm) ) x x( (mm) )天津师范大学计算机与信息工程学院对应点相乘!对应点相乘!例:卷积和计算例例1.1.71.1.7 设序列设序列求求y y( (n n)= )= x x( (n n)* )*z z( (n n) ) 。解:解:n n n n0 0时,时,x(m)x(m)与与z(n-m)z(n-m)没有重叠没有重叠,得,得y(n)=0y(n)=0。n n 00n n44时,时,对应点相乘!对应点相乘!天津师范大学计算机与信息工程学院例:卷积和计算n n 4 4n6n6时,时,n n 6 6n10n10时,时,n nn n1010时,时,x x( (mm) )与与z z(
16、 (n-mn-m) )没有重叠,得没有重叠,得y y( (n n)= 0)= 0。 天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.3 几种常用序列 单位脉冲单位脉冲( (抽样抽样) )序列序列 单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列 实指数序列实指数序列 正弦序列正弦序列 复指数序列复指数序列 天津师范大学计算机与信息工程学院单位脉冲序列 ( (n n) )只在只在n n= 0= 0时取确定时取确定值值1 1,其它均为零,其它均为零 ( (n n) )类似于类似于 ( (t t) ) ( (n n- -mm) )只有在只有在n n= = mm时时取确定值取确定值1 1,而其余点,而其余点取值均为
17、零取值均为零 天津师范大学计算机与信息工程学院单位阶跃序列 u u( (n n) )类似于类似于u u( (t t) ) u u( (t t) )在在t t= 0= 0时常不定义,时常不定义,u u( (n n) )在在n n= 0= 0时为时为u u(0)= 1(0)= 1 ( (n n) )和和u u( (n n) )的关系:的关系:(n) = u(n)-u(n-1) 天津师范大学计算机与信息工程学院单位矩形序列 N N 为矩形序列的为矩形序列的长度长度 和和u u( (n n) )、 ( (n n) )的关系的关系 :天津师范大学计算机与信息工程学院实指数序列 a a为实数为实数 当当|
18、a|a|1 1时序列时序列收敛收敛 当当|a|a|1 1时序列时序列发散发散 天津师范大学计算机与信息工程学院正弦序列 A A为幅度为幅度 为数字域角频率为数字域角频率 为起始相位为起始相位 x x( (n n) )由由x x( (t t)= sin)= sint t 取样取样得到x(n)= Asin(n+) 归一化归一化: : =T=T =/fs (与与线性关系 )天津师范大学计算机与信息工程学院复指数序列 为为数字域数字域角频率角频率 用用实部实部与与虚部虚部表示表示 用极坐标极坐标表示 =0=0时,序列具有以时,序列具有以22为周期的为周期的周期性周期性 复指数序列在实际中不存在,它是为
19、了数学上的表示和分析方便而引入的,它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.4 序列的周期性 对于序列对于序列x x( (n n) ),如果对所有,如果对所有n n 存在一个最小存在一个最小的正整数的正整数N N,满足,满足x x( (n n)= )= x x( (n+Nn+N) )则序列则序列x x( (n n) )是周期序列是周期序列 ,最小周期最小周期为为N N 。 以以正弦序列正弦序列 为例讨论周期性 设设 x x( (n n)=)= A Asin(sin(nn+ + ) ) 则有则有 x x( (n+Nn+N) =) =A Asinsin( (n
20、+Nn+N)+)+ = =A Asin(sin(NN+ +n+n+) ) 若若满足条件满足条件N= N= 2 2k k,则,则x x( (n+Nn+N)=)= A Asinsin( (n+Nn+N)+)+ = = A Asin(sin(n+n+) ) = x= x( (n n) )天津师范大学计算机与信息工程学院周期性讨论 N N、k k 为整数,为整数,k k 的取值满足条件,且的取值满足条件,且保证保证N N 是最小正整数。其周期为是最小正整数。其周期为 2/2/为为整数整数时,取时,取k k = 1= 1,保证为最小正整,保证为最小正整数。此时为周期序列,周期为数。此时为周期序列,周期为
21、2/2/。 例例1.1.81.1.8 序列序列 ,因为,因为2/2/= 8= 8,所以,所以是一个周期序列,其周期是一个周期序列,其周期N N= 8= 8。 例例1.1.81.1.8 序列序列 ,因为,因为2/2/= 8= 8,所以,所以是一个周期序列,其周期是一个周期序列,其周期N N= 8= 8。 例例1.1.81.1.8 序列序列 ,因为,因为2/2/= 8= 8,所以,所以是一个周期序列,其周期是一个周期序列,其周期N N= 8= 8。 天津师范大学计算机与信息工程学院周期性讨论2/2/为为有理数而非整数有理数而非整数时,仍然是周期序时,仍然是周期序列,周期大于列,周期大于2/2/。例
22、例1.1.91.1.9 序列序列 ,2/2/= 8/3= 8/3是有理数是有理数,所以是周期序列,取,所以是周期序列,取k k= 3= 3,得到周期,得到周期N N= 8= 8。 2/2/为为无理数无理数时,时,任何k 都不能使N 为正整数,这时正弦序列不是周期序列。 指数为纯虚数指数为纯虚数的复指数序列的周期性的复指数序列的周期性与正弦序列的情况与正弦序列的情况相同相同。 例例1.1.101.1.10 序列序列 , 2/ , 2/= 8/3= 8/3是无是无理数,所以不是周期序列。理数,所以不是周期序列。例例1.1.91.1.9 序列序列 ,2/2/= 8/3= 8/3是有理数是有理数,所以
23、是周期序列,取,所以是周期序列,取k k= 3= 3,得到周期,得到周期N N= 8= 8。 天津师范大学计算机与信息工程学院周期性讨论 判断一个正弦序列是否是周期序列的方法是: 用2除以它的数字频率,若得出的是整数或有理数,则序列为周期序列;若得出的是无理数,序列就不是周期序列。 但无论序列是否为周期序列,仍把称作序列的数字频率。天津师范大学计算机与信息工程学院下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。设模拟正弦信号为 对该 以T为采样间隔进行采样离散,得 将离散后的信号表示成离散正弦序列,即 天津师范大学计算机与信息工程学院可知 其中, 称为采样频率。该式即为数字频率和模拟角频率0、模拟频率
24、f 0之间关系式,它们是依靠采样间隔 T 或采样频率 f s 进行关联的。整理后可得可以看出: 是一个相对频率,它是连续正弦信号的频率f0 对抽样频率 fs的相对频率乘以2,或说是连续正弦信号的角频率0对抽样频率 fs 的相对频率。天津师范大学计算机与信息工程学院 数字频率的特点:(1)是一个连续取值的量;(2)的量纲为一种角度的量纲单位:弧度(rad)。它表示序列在采样间隔T内正弦信号变化的角度,表示了信号相对变化的快慢程度;(3) 序列对于是以2为周期的,或者说,的独立取值范围为0,2)或-,)。天津师范大学计算机与信息工程学院正弦型序列是周期序列的条件为:(有理数)则当 N 个抽样间隔等
25、于 k 个连续时间信号的周期时,由正弦信号抽样得到的正弦序列是周期序列。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列 任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示,任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示,即即式中式中天津师范大学计算机与信息工程学院例如如图序列,可以表示成天津师范大学计算机与信息工程学院 x x( (n n) ) 可看成是可看成是x x( (n n) )和和 ( (n n) )的卷积和,即的卷积和,即 例例1.1.111.1.11 天津师范大学计算机与信息工程学院1.2 线性移不变系统1.2.1 系统定义 数字信号处理的任何处理都是依靠系统来
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