《高等代数》课程习题.doc
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1、高等代数课程习题第1章行列式习 题 1.11 计算下列二阶行列式: (1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)2 计算下列三阶行列式:(1) (2) (3) (4)(5) (6) 3 用定义计算行列式:(1) (2)(3) (4) .4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) (2)习 题 1.21 计算下列行列式:(1) (2) (3) (4)2.计算行列式(1)(2) (3)(4) (5)3.用行列式的性质证明:(1)(2)4.试求下列方程的根:(1)(2)5.计算下列行列式(1) (2) (3) (4) (5) (6)习 题 1.31 解下列方程组(1)(2) 2 k取何值时,
2、下列齐次线性方程组可能有非零:(1) (2) 习 题 五1.41计算下列行列式(1), (2) (3)(4), (5)2用克莱姆法则解线性方程(1) (2)3当为何值时,方程组 可能存在非零解?4.证明下列各等式(1) (2) (3) 5.试求一个2次多项式,满足.第2章矩阵习 题 2.21设 , , ,求3A-2B+C。 2已知 求矩阵X。 3计算下列矩阵(1), (2) ,(3)(4),(5)4设 , 求(1)AB3B; (2)ABBA; (3)(AB)(A+B);(4)A2B2 5已知设 f(x)=x22x1,求f(A)。 6如果,证明A2=A的充要条件是B2=E。 7设 (1)计算行列
3、式|(2AB)T+B|的值.(2)求行列式|A3A|.8.证明:(ABC)T=CTBTAT.习 题 2.3用分块矩阵的乘法计算下列各题1 求AB. 2. 求ABA.习 题 2.5 1.用求矩阵的逆矩阵(1)其中adbc0; (2)(3) (3) 2.用矩阵的初等变换求逆矩阵(1) (2)(3) (4)3.设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.4.解下列矩阵方程(1) (2)(3)5.若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证: A-1B=BA-1。习 题 2.6 1.求下列矩阵的秩 (1) (2)(3) (4)2.问能否适当选取矩阵 中的k的
4、值,使(1) r(A)=1,(2) r(A)=2,(3) r(A)=3.3.试证明: .习 题 2.71.设,且A+B=C,求x,y,u,v,w,t。2计算(1);(2) (n0)3.求逆矩阵:(1) (2) 4.求矩阵的秩:(1); (2)5.已知矩阵 (1)设AX-2A+5E=0,求X.(2)设AX=A+2X,求X.6.已知AP=PB,其中 ,求A与A100.7.设A为3阶方阵,A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,A-1为A的逆矩阵,若行列式|A|=4,(1)求行列式的值.(2)求行列式.8.设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,A+E是可逆矩阵,且f (A)=(E-A)(E+A)-1,求
5、f (f (A).9.证明 10.设A为n阶满秩方阵(n2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n2A.第3章线性方程组习 题 3.1 1、判断下列方程组是否有解,若有解,用高斯消元法求出一般解。 (1) (2) (3) (4) 2求齐次线性方程组 的通解。 3问k取何值时,线性方程组无解?有唯一解?有无穷多个解?有解时并求出它的解。4当k取何值时,线性方程组 有非零解?并求出它的一般解。习 题 3.2 1.设向量, (1)若+=,求; (2)若3-2=5,求. 2将下列向量用其余向量线性表示: (1)1=(1,1,-1)T, 2=(1,2,1)T , 3=(0,0,1)T, =(1
6、,0,-2)T; (2) 1=(1,1,1, 1)T, 2=(1,1,-1,-1)T , 3=(1,-1,1,-1)T, 4=(1,-1,-1,1)T=(1,2,1,1)T。 3判断下列向量组的线性相关性: (1)1=(1,1,1)T, 2=(0,2,5)T , 3=(1,3,6)T; (2)1=(2,-1,3)T, 2=(3,-1,5)T , 3=(1,-4,3)T (3)1=(4,3,-1, 1,-1)T, 2=(2,1,-3,2,-5)T , 3=(1,5,2,-2,6)T, 4=(1,-3,0,1,-2)T。4试证:(1)若1,2,3线性无关,则21+2,2+53,43+31线性无关。
7、 (2)若1,2,3线性无关,则1,1+2,1+2+3线性无关。习 题 3.31.求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:(1) 1=(2,1,1)T, 2=(1,2,-1)T , 3=(-2,3,0)T;(2) 1=(2,1,3, -1)T, 2=(3,-1,2,0)T , 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T 2求下列向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组表示 :(1)1=(1,-1,2, 4)T, 2=(0,3,1,2)T , 3=(3,0,7,14)T, 4=(1,-1,2,3)T(2) 1=(1,1,1)T, 2=(1,1,0)T , 3=(1,0,
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