作一点一线一圆的切圆(CLP).pdf
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1、 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁尺规作图系列丛书 【常规解答之点线线问题】 1 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索! 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话 这个暑期酷热而慢长,闲寂室内,偶翻昔日的读书笔记,忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题,前后共四篇,先作如下简介: 解法基础:介绍尺规作图中常见的概念,如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等,以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退化为点或线后,位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“
2、热尔岗解法”、“庞斯列福切解法”,作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答:把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合,本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法,并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法:这里特款指点线圆组合中,比较特殊的位置关系,不在常规解答讨论之列,比如:两条平行线点或线或圆,两个同心圆+点或线或圆,这些特款在反演变换过程中,经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法:以阿波罗尼奥斯问题历史为序,介绍世界上著名数学家们的解法,重点介绍他们的解法思路
3、或详细作法,但不介绍多解的作法,只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是,由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录,当时只为了省事为了记重点,所以本系列书丛中,不说明其引用来源和出外,在此向原著作者表示歉意,同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出! 2019年7月于随州 【常规解答之点线线问题】 2 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索! 目录 一PPP:求作一圆经过不共线的三点 3 二、LLL:求作一圆与不共点三线都相切 3 三、PPL:求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 3 四、PLL:求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 4 五、LLC:求作一圆与
4、两已知直线和已知圆都相切 6 六、PPC:求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 10 七、PCC:求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 11 八、PLC:求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 15 九、LCC:求作一圆与两定圆、一定直线都相切 17 十、CCC:求作一圆与三个已知圆都相切 19 简介及说明: Apollonius问题是给定三个圆,作这三个圆的切圆。这里圆可以退化为点或线,把点看作是半径为零的点圆,把线看作是半径为无穷大的线圆。Apollonius问题就退化为:给定三个元素(点线圆)的一种组合,求作这个组合的切圆。具体的说就是,如果有定点的话,切圆就过这个定点,如果有定线、定圆
5、的话,切圆要与它们都相切。点P,线L、圆C的十种组合是: (1)PPP (2)LLL (3)PPL (4)PLL (5)LLC (6)PPC (7)PCC (8)PLC (9)LCC (10)CCC 阿波罗尼奥斯问题分了十大类,每类再按所给图形位置关系和解的数目,又可分若干情况,总体数目众多,其中一些比较简单,也有的难度较大。就解的数目而言,阿波罗尼奥斯问题有无解、退化解(退化为直线或点)、唯一解、两解乃至无穷多解等可能。本文只对一般情况进行梳理,用通法作图,特殊的位置关系可类推之。限于篇幅,本书不讨论、不证明,不作全部的解圆,未作出的解圆会注明作法的。 本文作图力求简约,隐藏了旁条斜枝,尺规
6、基本作图法也是一带而过。同时为叙述简洁,解答部分先作如下约定: 1、红实线圆为目标解圆,红细线圆为正交圆或反演基圆。蓝绿黑实线圆为已知圆,蓝绿黑线为已知直线。细实线为重要线。 2、细虚直线、细虚圆为作图过程中的示意线。 3、圆的记法:(ABC)-表示过A、B、C三点的圆。 A(R)-表示以A为圆心,R为半径的圆。 示例,A(R-r)-表示以A为圆心,(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心,BC为半径的圆。 【常规解答之点线线问题】 3 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索! 预备知识: 1、什么条件确定一个圆? (1)、已知圆心和半径,可以确定一个圆。 (
7、2)、不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多,是重点)。 2、圆幂定理 (1)、割线定理:圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 (2)、共根心的多圆顺次相交时,积的传递性 (3)、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 (4)、切线长的传递性 【常规解答之点线线问题】 4 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索! 3、怎么作目标圆上的点? 阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆,这个切圆叫做解圆或目标圆。知道了目标圆上的三个不共线的点,就可作出目标圆。但在已知条件中,点的个数不够
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