作两点一圆的公切圆(PPC).pdf
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1、【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯问题问题之常规解答之常规解答 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣,翻着昔日的笔记,不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长,人闲思绪多,忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动, 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题,一个是三等分角问题, 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线,看起来很简单,简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人,就会埋头猛攻起世界难题来了,到目前为 止,竟然还有牛人在网上发布视频,来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢,给出三个相离的已知圆,让你作出与 它们
3、都相切的圆来,如果你第一次听说这样的一个问题,你感到无从下手的是, 圆心该怎么确定?半径又该怎么确定呢?似乎是山重水复疑无路吧?可我会用 后面的章节告诉你,山水尽处是平川,这个问题是有多种作法的! 历史上,这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐,他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减,中学生都能理解,也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再,圆幂定理相关内容已成为选修内容,中学生都难 以领会了,更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了,是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车,用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时,在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们,表示崇高的敬意! 附,为简便计,圆的记法先作如下约定: (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心,以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心,以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心,以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目录 一一. .PPPPPP:求作一圆经过不共线的三点求作一圆经过不共线的三点 3 3 二二. .LLLLLL:求作一圆与不共点三线都相切求作一圆与不
5、共点三线都相切 3 三三. .PPLPPL:求作一圆经过已知两点且与已知直线相切求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 3 四四. .PLLPLL:求作一圆经过已知点且与两求作一圆经过已知点且与两相交直线相交直线都相切都相切 5 五五. .LLCLLC:求作一圆与两已知直线和已知圆求作一圆与两已知直线和已知圆都相切都相切 9 9 六六. .PPC:求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 1 11 1 七七. .PCC:求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 1 15 5 八八. .PLCPLC:求作一圆经过定点且与定直线求作
6、一圆经过定点且与定直线、定圆相切定圆相切 18 九九. .LCCLCC:求求作一圆与两定圆作一圆与两定圆、一定直线都相切一定直线都相切 2 21 1 十十. .CCC:求作一圆与三个已知圆都相切求作一圆与三个已知圆都相切 2 25 5 本书为本书为阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的章节分册的章节分册 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一一.PPP:求作一圆经过不共线的三点求作一圆经过不共线的三点。(作法略作法略)。 二二.LLL:求作一圆与不共点三线都相
7、切求作一圆与不共点三线都相切。(作法略作法略)。 三三. . PPL:求作一圆经过已知两点且与已知直线相切求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 。 已知已知:点点A A、点点B B、直线直线L L,( (直线直线ABAB与直线与直线L L不平行不平行) ) 求作求作:O O,使之过使之过A A、B B且与且与直线直线L L相切相切。 作法一作法一: 1.作直线AB交直线L于C. 2.作以AB为直径的圆,过C作此圆的切线CD,D为切点。 3.作C(CD)交直线L于E、F点。则(ABE)和(ABF)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我
8、是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法剖析作法剖析: 目标圆(红圆)上已有两个点A、B,还缺少一个点。目标圆与以AB为 直径的圆相交于A、B,两圆的根心为C,CD是AB为直径的圆的切线, CE=CD,CF=CD,由“切点作法”可知,E、F是目标圆的切点,这样目标 圆上就有三个不共线的点A、B、E或A、B、F,所以目标圆就可作出了。 作法二作法二: 1.作AB的中垂线DC交直线L于C,在直线CD上取点F,作FGL于G,作 F(FG)交直线AC于M、N. 2.过A分别作AOFM、 AO?FN,它们交直线CD于O、O?. 则O(OA)、O?(O?A)即是所求。
9、作法剖析作法剖析: 此法为“位似定心法”,先作F 的目的是,使F 与O 位似,位 似中心为 C.然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”,来确定圆心 O 的位置。圆心 O 定了,那么半径 OA 就定了,于是目标圆就可作出来了。 作法三作法三: 1.作 B 关于直线 L 的对称点B?.作B?CL 交直线 AB 于 C. 2.作(ACB?)交直线 L 于 D、E 两点。则(ABD)、(ABE)即是所求。 作法剖析作法剖析: 假设切点D已作出,那么D满足什么条件呢?答案是,D应满足A、B?、 C、D四点共圆。这样D点就可作出了。 为什么A、B?、C、D会四点共圆呢?如图: 【阿波罗尼奥斯问题之常规解
10、答】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! DAB=BDE (圆周角等于弦切角) BDE=B?DE (对称图形性质) B?DE=DB?C (内错角相等) DAC=DB?C (等量代换) A、B?、C、D四点共圆。 作法作法四四:(反演法) 1.作B(BA)交直线L于D、G两点,作(BDG). 2.过A作(BDG)的切线AM、AN,其中M、N为切点。 3.直线BM、BN分别交直线L于E、F点。则(ABE)和(ABF)即是所求。 作法剖析作法剖析: B(BA)为反演基圆,(BDG)与直线L互为反形,切线AM与
11、O?互为 反形,切线AN与O互为反形。根据两个对应切点与反演极共线,则B、M、 E三点共线,B、N、F三点共线,这样就定出了E、F点。 当B(BA)与直线L无交点时,作直线L关于B的反形B?,并用B? 代替(BDG)即可。 四四. .PLL:求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切。 例例1.1.已知已知:直线直线L L 、m m相交于相交于O O,和和两直线两直线外一点外一点A A 求作求作:求作求作O Oi i过过A A点点,且与且与L L、m m相切相切, ,其中其中i=1i=1、2 2 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛
12、书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法一作法一: 1.在两线夹角的平分线上任取一点P,作P与直线L、m相切。 2.作射线OA与P交点B、C .过A作PB、PC的平行线分别交OP于O1、O2点。 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法剖析作法剖析: 此法为“位似求心法”,先作P 的目的是,使P 与O 位似,位 似中心为 O.然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”,来确定圆心 Oi的位置。圆心 Oi定了,那么半径 OA 就定了,于是目标圆就可作出来了。 作法二作法二:(解析作法) 1.作两线夹角的平分线 OB,过 A 作 A
13、COB 交 L 于 C. 2.作以 OC 为直径的圆与O(OA)交于 E,此时 CE=OC? OA?,作 A(AE)交直线 L 于 G、F 两点。此时 x1OG,x2OF. 3.过 G、F 作直线 L 的垂线交 OB 于 O1、O2. 则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法剖析作法剖析: 建立如图坐标系,所求圆的圆心Oi在角平分线OB上,设Oi(x,kx), 由OiA=R,列出方程?(? ?)?+ (? ?)? = (kx) 2, 化简得:x 2-2(a+kb)x+(a2+b2)=0 ,用求根公式求出Oi的横坐标表达式: 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列
14、丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! xi(a+kb)?(? + ?)? (a?+ b?) , 在图中作ACOB交直线L于C,OD=a,CD=kb,则OC=a+kb. 于是转化为线段表达式:xi = OCOC? OA? , 用尺规很容易把 OCOC? OA? 作出来。 作法三作法三:(转化为PPL法) 1.作A关于角平分线OB的对称点A?,直线AA?交直线L于C. 2.过C作以AA?为直径的圆的切线长CE. 3.作C(CE)交直线L于G、F,过G、F作直线L的垂线,交OB于O1、O2 ,则 O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 说
15、明:1.本例问题转化为:作过A、A?两点且与直线L相切的圆。 2.作法三与作法二比较,它们基本上是一致的。只不过是切线长 CE的作法不同罢了。二者都是作CE = OC? OA? . 作法四作法四:(解析法) 1.作 ACL 于 C,AC 交角平分线于 B,作一点 D 使 ADOA,BDOB,注 意三垂线作法。 2.作D(DA)交直线 m 于 E、F.过 E、F 作直线 m 的垂线交角平分线于 O1、 O2 ,则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的
16、漫漫求索! ! 解法剖析解法剖析: 实质上是作法二的变形,这里相当于OE=x1 ,OF=x2 ,只需要证明: OE、OF是方程x 2-2(a+kb)x+(a2+b2)=0的两根即可,也就是: OE+OF=2OG=2(a+kb),OEOF=OA 2=a2+b2 即可。其中OEOF=OA2用切割 线定理证明,很直观,如下图。而OE+OF=2OG=2(a+kb)就要化成两部分: OE+OF=2OG 和 OG=(a+kb)单独去证明。 作的“三垂线”目的是让O、A、B、D四点共圆,OD是圆的直径。 DGEF, G是EF中点 ,OE+OF=2OG 又AOC =90-OAC=90-(90-BAD)=BAD
17、=BOD GOM=DOA GOM+OGM=DOA+ODA=90 GMOM 即OM垂直平分GN OG=ON=OC+CN = a+kb 故OE+OF=2OG = 2(a+kb) 由韦达定理知:OE=(a+kb)-?(? + ?)? (a?+ b?) OF=(a+kb)+?(? + ?)? (a?+ b?) 这样就与作法二完全一致了。 作法作法五五:(反演法) 1.作A(细红虚线圆)交直线m、L于G、H和P、Q点。 2.作两圆(AGH)、(APQ)的公切线MN和ST,其中M、N、S、T是切点。 3.直线AN、AT交直线m于C、B,直线AM、AS交直线L于E、F. 则(ACE)、(ABF)即是所求。
18、【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 解法剖析解法剖析: A是反演基圆,初形与反形的对应关系为:直线m(AGH)、直 线L(APQ)、切线MN(ACE)、切线ST(ABF).根据“两个对应切 点与反演极共线”,则A、M、E三点共线,A、N、C三点共线,A、T、B三 点共线,A、S、F三点共线。 五五. .PPC:求作一圆求作一圆,使它与已知圆相切并过圆外两已知点使它与已知圆相切并过圆外两已知点 例例1.1.已知已知:K K及及其其外两点外两点A A和和B B 求作求作:过过
19、A A和和B B作作O O,使它与使它与K K相切相切。 作法一作法一: 作(ABK)交K于E和F,直线EF与直线AB的交于S.以SK为直径的圆 交K于M、N.则(ABM)、(ABN)即为所求。 作法剖析作法剖析: 目标圆上已有两个点A、B,还缺少一个点,这个点就是公共切点。 于是用“切点作法”作出了切点M、N.其中S是目标圆和(ABK)的根心, 直线SM、SN是K和目标圆的公切线。 作法二作法二:(热尔岗解法) 1.作相似轴。直线 AB 即是。这说明 AB 是内外相似轴,它们二合一了。 2.作根心。过 A、B 分别作K 的切线 AD、AD?和 BC、BC?,C、C?、D、D? 为切点。线段
20、AD、AD?的中点连线与线段 BC、BC?的中点连线交于 Q. 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 3.作极点。直线 CC?、DD?交于 P,点 P 就是直线 AB 关于K 的极点。 4.作切点。直线 PQ 交K 于 M、N 两点,点 M、N 就是切点。 则(ABM)、(ABN)即为所求。 说明:1.A、B是多重身份,是点圆,是极点,是切点。 2.相似轴的条数决定解圆的个数,一条相似轴确定两个解圆。 作法三作法三:(彭赛列福切解法) 1.作K、A、B 的根心S(见作法二
21、), 过S作直线AB的垂线MN. 2.作S(SA),与K交于E、F,直线EF交直线AB于T. 3.以TK为直径作圆交K于P、Q.则(ABP)、(ABQ)即是所求。 说明说明:PPC问题中内外相似轴二合一了,都是直线AB.故有两个解圆。 作法作法四四:(反演法) 1.作A(AB),作K关于A(AB)的反形C. 2.过B作C的公切线BD和BE,其中D、E是切点。 3.直线AD、AE交K于N、M.则(ABM)、(ABN)即是所求。 【阿波罗尼奥斯问题之常规解答】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 解法剖析
22、解法剖析: A(AB)是反演基圆,初形与反形的对应关系为:KC、切线BD (ABN)、切线BE(ABM).根据“两个对应切点与反演极共线”,则 A、E、M三点共线,A、D、N三点共线。 六六. .LLCLLC:求作一圆与两已知直线和已知圆求作一圆与两已知直线和已知圆都相切都相切。 例例1.已知已知:直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R),直线直线L L1、L L2交于交于P P. 求作求作:O O,使它与使它与直线直线L L1、L L2和和K(R)K(R)都相切都相切。 作法一作法一:(热尔岗解法) 1.作相似轴。过K作L1的垂线交K于A、B,过K作L2的垂线交K于C、D, 则BC是外
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