作两线一点的公切圆(PLL).pdf
《作两线一点的公切圆(PLL).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《作两线一点的公切圆(PLL).pdf(30页珍藏版)》请在文库网上搜索。
1、【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 0 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! + + 阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书金 占 魁 尺 规 作 图 系 列 丛 书 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 在这习习的晚风里 我在追忆着失落的过去 在这泱泱
2、的波光中 我在寻觅你残留的痕迹 曾经是星星月亮般的情意 古老的神话传说着它们永不分离 听着古老的歌谣,翻着昔日的笔记,不知何时就到了怀旧的年龄。这个暑 期酷热而慢长,人闲思绪多,忽然有一股想把所了解的知识系统归纳的冲动, 想到了也就干了起来。 时常引起人们的错觉的是这样的两个尺规作图问题,一个是三等分角问题, 另一个是阿波罗尼奥斯问题。作一个角的三等分线,看起来很简单,简单到一 个刚学会怎么使用直尺和圆规的人,就会埋头猛攻起世界难题来了,到目前为 止,竟然还有牛人在网上发布视频,来说明自己是如何如何破解三等分角的!但 冷酷的事实是它是不可能的!而另一个呢,给出三个相离的已知圆,让你作出与 它们
3、都相切的圆来,如果你第一次听说这样的一个问题,你感到无从下手的是, 圆心该怎么确定?半径又该怎么确定呢?似乎是山重水复疑无路吧?可我会用 后面的章节告诉你,山水尽处是平川,这个问题是有多种作法的! 历史上,这两个烧脑的问题曾引起众多大咖们的青睐,他们的思想和方法引 领着无数后继者。三等分角问题至今热度不减,中学生都能理解,也敢勇于试探。 阿波罗尼奥斯问题却好景不再,圆幂定理相关内容已成为选修内容,中学生都难 以领会了,更不用说用圆规去探究了。能理解这本书内容的大概也是上了岁数的 人了,是故把书名定为阿波罗尼奥斯问题的末班车,用以纪念我们曾经的热 情和兴致。 同时,在此向本书部分内容提供过借鉴的
4、同仁们,表示崇高的敬意! 附,为简便计,圆的记法先作如下约定: (ABC)-表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。 A(R)-表示以A为圆心,以R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心,以(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心,以线段BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 目目 录录 一一. .圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴3 3 二二. .两圆的根轴两圆的根轴、三圆的根心三圆的根心4 4 三三. .反
5、演变换反演变换、极线极线、极点极点66 四四. .正交圆系正交圆系、共轴圆系共轴圆系( (圆束圆束) )88 五五. .圆退化为点的情况圆退化为点的情况99 六六. .圆退化为线的情况圆退化为线的情况 1212 七七. .热尔岗解法及其通法热尔岗解法及其通法 1 15 5 八八. .庞斯列庞斯列福切解法福切解法及其改进型通法及其改进型通法 2121 本书是本书是阿波罗尼奥斯问题阿波罗尼奥斯问题的末班车的末班车的章节分册的章节分册 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 一一)
6、 )圆的切线圆的切线、位似中心位似中心、相似轴相似轴 1 1. .过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线 2 2. .作作相离相离两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心及内及内、外外公切线公切线 作法作法:任取O1的半径OA,过O2作O1A的平行线交O2于B、C,直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心,T为内位似中心。过S作O1的 切线,即是外公切线,过T作O1的切线,即为内公切线。 3.3. 作作内含内含两圆的内两圆的内、外位似中心外位似中心 作法作法:任取O1的半径OA,过O2作O1A的平行线交O2于B、C,直线AC、 BC交连心线O1O2于S、T。S是外位似中心,T为
7、内位似中心。 说明说明:两相切、相交时,内、外位似中心的作法是相同的。等圆只能作 出位似内心,位似外心在无穷远处。 4.4.作作三三圆圆两两外切两两外切( (这是基本功,不然索迪圆往哪儿画?) ) 作法一: (1)作ABC的内切圆,切点为D、E、F。 (2)作A(AD)、B(BE)、C(CF)即可。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二: (1)在线段BC上任取一点E,作B(BE)、C(CE),则B与C外切。 (2)作B、C的外位似中心。在B上再任取一点S,直线ST
8、交两圆于D、F两点, 直线BD、CF交于A。作A(AD)即可,则三圆A、B、C两两外切。 5.5.作三圆的相似轴作三圆的相似轴 作法作法:作两两圆对的内、外位似中心,共三个位似外心和三个位似内心。 其中,三个位似外心共线,称为外相似轴,只有一条。两个位似内心和 一个位似外心共线,称为内相似轴,有三条。 二二) )两圆的根轴两圆的根轴、三圆的根心三圆的根心 1 1. .两圆的根轴两圆的根轴( (也叫等幂轴也叫等幂轴) ) (1).(1).两圆相交时和两圆相切时 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你
9、黑暗中的漫漫求索! ! (2).两圆相离时 (3).两圆内含时 2 2. .点与圆的根轴点与圆的根轴( (其中一圆退化为点其中一圆退化为点) ) 点与圆的根轴垂直于点心线,平分点与圆的公切线(若有的话),平 分点与它的极点的连线段(图中的线段 PP?)。根轴上任一点到圆的切线长 等于它到定点的距离。 点在圆外点在圆外 点在圆上点在圆上 点在圆内点在圆内 3.3.三圆的根心三圆的根心( (也叫等幂点也叫等幂点) ),指三条根轴交于的一点指三条根轴交于的一点。实际作图中只需 要作两条根轴相交即可。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛
10、光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 三三) )圆的圆的反演变换反演变换、极线极线、极点极点 1 1. .点关于圆的反演变换点关于圆的反演变换 定义,在以O(R)的圆心O为端点的射线上取两点A、A?,若OAOA?=R 2 , 则称A、A?关于O(R)互为反演点,O(R)为反演圆(基圆),O为反演中 心(反演极),R为反演半径(R 2为反演幂)。 点在圆外时的反演作法点在圆外时的反演作法 点在圆内且不是圆心时的反演作法点在圆内且不是圆心时的反演作法 点在圆上时点在圆上时,其反演点是其本身其反演点是其本身。点在圆心处时点在圆心处时,反演点在无穷远处反演点在无穷远处。 2 2.
11、 .极线关于圆的极点极线关于圆的极点,极极点点关于圆的极关于圆的极线线。 作法一作法一: 说明说明:把上述过程倒作,就能作出点A?关于O的极线L。 作法二作法二:两对两对“切点线段切点线段”的交点的交点 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明:三圆的外相似轴关于三圆的极点的另一作法,过三个位似外心作 其对应圆的外公切线,切点连线的交点就是对应的极点。 3.3.直线直线关于圆的关于圆的反演反演 (1).(1).直线与圆相离时 (2).直线与圆相切、相交时 当直线L与O
12、相切于A时,直线L的反形为以OA为直径的圆(左图)。 当直线L与O相交于B、C时,直线L的反形为过O、B、C三点的圆(中图)。 当直线L过O的圆心O时,直线L的反形为其本身(右图)。 4.4.圆圆关于圆的关于圆的反演反演 当O?不过O的圆心O时,O的反形为另一个圆。 图中O1与O互为反形,其中A是A?的极点,B是B的极点,两圆是 以AB、A?B?为直径的圆。 说明说明:只需作O?与连心线OO?的交点的反演点即可,注意反形与圆心无 关,O?的反形不是O1 !千万不要通过圆心来作反形。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你
13、黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 当圆过O的圆心O时,其反形为直线L。 过切点A的切线 过两交点的直线 A与A?互为反演点 说明说明:直线L都与连心线OO?垂直。 四四) ) 正交圆系正交圆系、共轴圆系共轴圆系( (圆束圆束) ) 1 1. .一圆一圆、两圆两圆、三圆的正交圆的作法三圆的正交圆的作法 如图,O、O?两圆正交,可简单地理解为:两圆过交点A的半径互相 垂直,即OAO?A。 (1).作作O O的正交圆的方法的正交圆的方法,在O外任取一点O?,以OO?为直径作圆交 O于A,则O?(O?A)即是所求。 (2).作两圆作两圆O O1 1、O O2 2的正交圆系的方法的正交圆系
14、的方法。 (3).作三圆作三圆O O1 1、O O2 2、O O3 3的公共正交圆的公共正交圆( (根圆根圆) )的方法的方法。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 2 2. .两圆的共轴圆系作法两圆的共轴圆系作法 作作O O1 1、O O2 2 的共轴圆的共轴圆( (庞斯列庞斯列福切解法福切解法要用要用) ): 五五 圆退化为点时的情况圆退化为点时的情况 1 1. .“圆与圆圆与圆 点与圆点与圆 点与点点与点”的规律的规律: (1)(1)外离时的变化规律外离时的变化规律
15、: 说明说明:位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述,翻看前面内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 10 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明:过点O2作O1的两条外公切线,切线段的中心连线即是根轴。在根 轴上任取一点O,以OO1为直径的圆与O1交于P、Q点,则O(OP)即为点 与圆的正交圆。 说明说明 :两点O1、O2的根轴是线段O1O2的垂直平分线,两点O1、O2的正交圆 是过O1、O2两点的任一圆。 (2)(2)点与圆位置的变化规律点与圆位置的变化规律: 说明说明 :点在圆外时,点与圆的
16、根轴有两种作法,其中,根轴是A与它的 极点A连线的垂直平分线,这是一种通用作法。点与圆的正交圆必过此 点,圆心在根轴上。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 11 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明:过A点的圆的切线为根轴。O?是根轴上任一点,O?(O?A)是正交 圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆 点圆圆点圆圆 点点圆点点圆”的规律的规律: 说明说明:三圆的根心、相似轴、正交圆的作法详见前面的内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 12 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛
17、光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明:一圆退化为点A时,A为位似中心,过A与两圆的位似内心的直线为 内相似轴,过A与两圆的位似外心的直线为外相似轴。点圆圆的根心是A 与两圆的根轴的交点,点圆圆的正交圆必过A点,根心是圆心。 说明说明:两圆退化为两点A、B时,A、B为位似中心,直线AB为点点圆的相 似轴。根心是A、B分别与圆的根轴的交点。正交圆过A、B两点,根心为 圆心。 总结总结:圆退化为点圆时,点变为位似中心。有两个点时,两点连线为相 似轴。正交圆总是经过点圆。点与圆的根轴的作法是该点与其极点连线 的中垂线。 六六 圆退化为线圆退化为线时时的情况的情况 1 1
18、. .圆圆的公切线圆圆的公切线 线圆的公切线线圆的公切线: 说明说明:位似心、公切线、根轴、正交圆的作法不再叙述,翻看前面内容。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 13 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! (1)线圆与圆外离时线圆与圆外离时: 说明说明 :圆退化为线时,直线为根轴。过圆心作该直线的垂线,与圆的两 个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过内、外位似中心的圆的两条 切线,分别为“线与圆”的内、外公切线。在根轴上任取一点为圆心, 作圆的正交圆,此圆也为“线与圆”的正交圆。 (2)(2)线圆与圆相切时线
19、圆与圆相切时: 说明说明:这种情况下,直线为根轴,也为内公切线。过圆心作该直线的垂 线,与圆的两个交点为“线与圆”的内、外位似中心。过外位似中心的 圆的切线,为“线与圆”的外公切线。在根轴上任取一点为圆心,作圆 的正交圆,此圆也为“线与圆”的正交圆,正交圆过位似内心。 (3)(3)线圆与圆相交时线圆与圆相交时: 说明说明 :圆退化为线时,直线为根轴。过圆心作该直线的垂线,与圆的两 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 14 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 个交点为“线与圆”的位似中心(不分内与外)。过两位似中
20、心的圆的两 条切线,分别为“线与圆”的公切线。在根轴上任取一点为圆心,作圆 的正交圆,此圆也为“线与圆”的正交圆。 2 2. .“圆圆圆圆圆圆”的公切线的公切线 “线圆线圆圆圆“的公切线的公切线 “线线线线圆圆”的公切线的公切线: 说明说明:三圆的根心、相似轴、正交圆的作法见前面的内容。这里不再叙 述。 说明说明:当一圆退化为直线L时,直线L为“线与圆”的公共根轴。过两圆 的圆心分别作直线L的垂线,与两圆的两个交点分别为A、B和C、D,其中 直线AD是“线圆圆”的外相似轴,直线AC、直线BD、直线BC是“线圆圆” 的内相似轴。两圆的根轴与直线L的交点为“线圆圆”的根心,以根心为 圆心,作任一圆
21、的正交圆,则此圆也为“线圆圆”的正交圆。 【阿波罗尼奥斯问题之解法基础】 15 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 说明说明:当有两圆退化为两直线L1、L2时,直线L1、L2为“线与圆”的根轴, 直线L1、L2的交点为“线线圆”的根心。过圆的圆心分别作直线L1、L2的 垂线,与圆的两个交点分别为A、B和C、D,则直线AC是“线线圆”的外 相似轴,直线AD、直线BD、直线BC是“线线圆”的内相似轴。以根心为 圆心,作圆的正交圆,则此圆也为“线线圆”的正交圆。 总结总结:直线与线圆相切变为线与线平行。圆与线圆的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 作两线 一点 公切圆 pll