作相交或相切三圆的公切圆(CCC).pdf
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1、 阿波罗尼奥斯问题之点点线 金 占 魁金 占 魁 尺 规 作 图尺 规 作 图 系 列 丛 书系 列 丛 书 【常规解答之点点线问题】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯问题问题之之点点线点点线 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 这个暑期酷热而慢长,闲寂室内,偶翻昔日的读书笔记,忽然有一 股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一系列是阿波罗 尼奥斯问题,前后共四篇,先作如下简介: 解法基础:介绍尺规作图中常见的概念,如位似中心、相似轴、 根轴、根
2、心、极线、极点、反演变换、正交圆等等,以及它们的尺规作 法。同时还介绍圆退化为点或线后,位似中心、相似轴、根轴、根心、 极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列福 切解法”,作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答:把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合,本书全面介 绍每种组合中一般情况下的多种解法,并介绍该种情况下的全部解圆的 作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法:这里特款指点线圆组合中,比较特殊的位置关系, 不在常规解答讨论之列,比如:两条平行线点或线或圆,两个同 心圆+点或线或圆,这些特款在反演变换过程中,经常用到。书中还介 绍了“鞋匠的刀“形中的切
3、圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解 法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法:以阿波罗尼奥斯问题历史为序,介绍世界上著名数 学家们的解法,重点介绍他们的解法思路或详细作法,但不介绍多解的 作法,只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是,由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录,当时只 为了省事为了记重点,所以本系列书丛中,不说明其引用来源和出外, 在此向原著作者表示歉意,同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢 他们的辛勤付出! 本书只是阿波罗尼奥斯问题的末班车的章节片断,请在线浏览 阿波罗尼奥斯问题的末班车中的全部内容! 附.圆的记法作如下约定:(ABC)-表示过A、B、C三点的圆。
4、 A(R)-表示以A为圆心,R为半径的圆。 示例,A(R-r)-表示以A为圆心,(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心,BC为半径的圆。 2019年7月于随州 【常规解答之点点线问题】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 第一章第一章 阿波罗尼奥斯问题的阿波罗尼奥斯问题的简介简介 在数学历史的长河中,飞溅着无数个令人惊艳的浪花,有一个著名 的尺规作图问题就从古激荡至今-作出一个与平面上三个给定圆都相 切的圆。如图1: 图1. 三圆外离时有八种符合条件的切圆 古希腊的数学家阿波罗尼奥斯提出了这
5、个问题,并解决了这个的问 题,可惜的是他的解答已经失传了,但问题本身却在帕普斯的研究成果 报告中得以幸存下来。这个悬案问题一直是一个挑战,它吸引了诸如笛 卡尔、牛顿、欧拉、高斯和热尔岗等数学名家,他们为这朵浪花增添了 亮丽的色彩,正是因为他们的积极参与,宛如一场跨世纪的技能大比拼, 更使得阿波罗尼奥斯问题举世瞩目。 阿波罗尼奥斯问题的大事纪: 1.公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(前260-前190)提出了 阿波罗尼奥斯问题,并解决了这个的问题(失传)。 2.三世纪亚历山大城的希腊数学家帕普斯(Pappus,约300约350)在 数学汇编中记录了阿波罗尼奥斯问题,并尝试了阿波罗尼奥斯问
6、题 的解答。 3.法国数学家韦达(F.Vietta,15401603)根据前人的研究,对论 相切一书作了复原,同时系统论述了阿波罗尼奥斯提出的问题,给出 了最接近阿氏思想的解答,被认为是对阿波罗尼奥斯问题的合理复原。 4.1596年,比利时数学家范罗门(A.Van Roomen,15971652)使用两 条双曲线的交点来确定解圆圆心的方法,但不被韦达认可,因为范罗门 的解法并不符合只使用尺规的要求。 5.牛顿(I.Newton,16421727)在普遍的算术中复制了韦达的解 法,1687年,牛顿又在自然哲学之数学原理中,再次回到阿波罗尼奥 斯问题上来,他的解法利用了范罗门的思路,应用了双曲线的
7、焦点及准线 的性质,使双曲线法的尺规作图成为可能。约翰凯西在1881年对范罗 门的方法也进行了改进。 【常规解答之点点线问题】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 6.笛卡尔(Ren Descartes,1596-1650)用代数方法找到了两种解 法,其繁琐程度就连笛卡儿本人都不会用尺规尝试。不久,波希米亚的 伊丽莎白公主(Elizabeth, 15961662)也得出了代数解,笛卡儿认为她 的解法不比他的高明多少。 7.1788年,欧拉(L.Euler,17071783)和他的学生及朋友尼古拉弗 斯(
8、N.Fuss, 17551826)在“圣彼得堡科学院院刊”上分别发表了一个 代数解法。 8.1801年,蒙日的学生数学家卡诺(L.N.M.Carnot,17531823)在 几何图形的相互关系中,利用二次方程求出了阿波罗尼奥斯问题中解 圆的半径,并将切点作为位似中心来确定。1803年,在另一部著作位置 几何学中,卡诺又概述了阿波罗尼奥斯问题的代数解法。 9.德国大数学家高斯(C.F.Gauss,17771855)在卡诺位置几何学 德译本(1810)的一个注释中,完成了卡诺的代数解法,并成功地对卡诺的 计算进行了简化。 10.1806年,巴黎综合工科学校一年级学生柯西(A.L.Cauchy,17
9、89 1857) 发表了阿波罗尼奥斯问题的一个代数解法,这是柯西一生中发表的 第一篇论文。 11.1811年,柯西的校友庞斯列(Poncelet,JeanVictor,1788- 1867)也在一年级时发表阿波罗尼奥斯问题的一个解法。1822年,庞斯列 在其图形之射影性质中给出了阿波罗尼奥斯问题的另一解法。 12.热尔岗(J.D.Gergonne,17711859)于1816年给出的阿波罗尼奥斯 问题的第一个一般性结果,这是一个为人称道的最为优雅的解法。 13.1892年,法国数学家福切(M.Douche )应用等角圆方法再次解决 了阿波罗尼奥斯问题,不过他的这一解法与庞斯列的解法基本上并无二
10、致。 引人注目的是,福切不仅给出问题的一般解,而且还根据已知三圆的位置 关系讨论了各种情况下解的个数,同时,他还说明自己的解法同样适用于 已知圆被换成点或直线时的特殊情形。 14.19世纪中叶,丹麦数学家彼得逊(J.Petersen,18391910)利用反 演理论解决了阿波罗尼奥斯问题。 15.加拿大的考克斯特(H.S.M coxeter,19072003)上个世纪最伟 大的几何学家给出的环形解方法,另一个方法是挪威著名数学家索菲 斯李(Sophos-lie,1842-1899)提出的lie-sphere几何。 16.英国著名数学史家希思(T.L.Heath,18611940)对阿波罗尼奥斯
11、 问题进行了复原工作。 17. 1643年,笛卡儿求得“笛卡儿圆定理”;1842年,英国业余数学家 贝克罗夫特(P.Beecroft)重新发现了这个结果。1936年,诺贝尔化学奖 得主索迪(F.Soddy,18771956)在自然杂志上,用诗歌形式发表了 “笛卡儿圆定理”, 索迪称之为“精确之吻”,如今人们把“与三个彼此 外切的圆都相切的圆”称索迪圆。 18.美国数学家埃普斯坦(D.Eppstein)于2001年又从空间两两相切四 【常规解答之点点线问题】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 球的一个性
12、质中导出了一个十分简妙的新解法。 一般来说,三个给定的圆有八个与它们相切的解圆,这些解圆与三 个给定圆只存在着相切方式上不同,它们可分为:与三个圆都外切、与 两个圆外切另一个圆内切、与一个圆外切另两个圆内切、与三个圆都内 切。 图2.解圆与三圆的外切及内切方式 如果细分的话,还可以成对加以考虑,它能对作图分析带来极大的 便利,至少热尔岗就是这样解决问题的。 图3.八个解圆成双地加以考量 当然,三个给定的圆也可出现退化的现象,其中的任何一个都可以 缩小到零半径(一个点)或扩展到无限半径(一条线)。 图4. 圆退化为点的过程 图5. 圆退化为线的过程 【常规解答之点点线问题】 5 【金占魁系列丛书
13、金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 图6. 圆退化为点和线的过程 从以上图示可以看出,阿波罗尼奥斯问题及其退化就分成了十种情况:点点 点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、点圆圆 (PCC)、线线圆(LLC)、线圆圆(LCC)、点线圆(PLC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在 原本中讨论了“PPP”、“LLL”的作法, 而阿波罗尼奥斯在论相切中讨 论了其余的八种。因点、线、圆的位置不同,解圆的个数也不尽相同,1895年, 英国数学家缪尔海德(R.F.Muirhead)在其论文“
14、阿波罗尼奥斯相切问题解的个数 与性质”中完整地讨论阿波罗尼奥斯问题的解的个数。 为了解决阿波罗尼奥斯问题,数学家们开发了大量的几何和代数方法,我们 先来介绍一下代数方法,不论是谁,第一次看到阿波罗尼奥斯问题时,莫名地就 会有代数求解的想法。 阿波罗尼奥斯问题可以用解圆的圆心和半径的三个方程来表示,可设 圆心的坐标为(x、y),半径为r,三个给定圆的圆心可设为(x1、y1)、(x2、 y2)和(x3、y3),半径可设为r1、r2、r3 .因解圆与三个给定圆相切,可以表 示为x、y和r的三个二次方程组。 (x-x1) 2+(y-y1)2-(rr1)2=0 (1) (x-x2) 2+(y-y2)2-
15、(rr2)2=0 (2) (x-x3) 2+(y-y3)2-(rr3)2=0 (3) 在(rri) 2中(i=1、2、3),+号表示外切时符号,-号表示内切时符号。 求解方程组即得出r的表达式,但其过于繁琐,这里没有写出,不过 表达式中只有加、减、乘、除、乘方、开平方运算,它是可以用尺规作 出的! 在解方程组的过程中,出现了关于r的二次方程,根据一元二次方程 的根的判别式,任何二次方程的两个根可以是三种类型:两个不同的实数 根、两个相同的实数根或一对复共轭根。第一种情况是:每对根对应于一 对通过圆反演相关联的解圆(反演基圆是已知三圆的正交圆)。在第二种情 况下,两个根是相同的,对应于一个解圆,
16、在反演下其反形为自身,给定 的一个圆本身就是一个解圆,这样不同解的数目减少了一个。复共轭半径 的第三种情况与几何解不对应,因为解圆不能有一个虚拟半径,因此,解 的数目减少了两个。有趣的是,阿波罗尼奥斯问题不能有7个解圆,尽管 解圆的个数可能是从0到8的任何其他的数字。 阿波罗尼奥斯奥斯问题的另一个重要思路是变换法,基本策略是将 一个给定的阿波罗尼奥斯问题转化为另一个更容易解决的阿波罗尼奥斯 【常规解答之点点线问题】 6 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 问题。通过逆变换,从新问题的解中找到原问题的解。候选
17、变换必须能 将给定的点、线和圆转换为其他点、线和圆,而不是变换成其他形状, 圆反演就具有这一特性。 如果三个给定圆中的两个不相交,则可以恰当地选择反演基圆,使 这两个给定圆变换为同心圆。三个已知圆在这种环空反演下,三圆的反 形变为A(两个同心圆)和B,三个反形的解圆(红圆)的位置如图所示: 图7:ABC的边为a、b、c,左图中,2R=r2-r1 ,2b=r2+r1 ,a=r3R ,右图中, 2R=r2+r1 ,2b=r2-r1 ,a=r3R ,其中号取决于解圆C与B是外切还是内切. 当三个反形圆确定时,利用高斯方法可以很容易地解决阿波罗尼奥 斯问题(见下面步骤1.2.3.)。上图中设BAC=,
18、根据余弦定理可得: cos=? ? ? = K ,=2arctan(? ? ) 这里计算的目的是,值的个数与解圆的个数是对应的。 为了解决阿波罗尼奥斯问题,我们就必须要确定解圆的圆心或半径, 二者知其一即可。于是我们按如下步骤进行: 步骤步骤1.1.把两个相离的给定圆反演成同心圆把两个相离的给定圆反演成同心圆。 (1)作两圆O1、O2的根轴,在根轴上任取一点P,作P与O1、O2正 交。P与直线O1O2交于两个定点E、F。 (2)作E(EF),并把它作为反演基圆,则O1、O2的反形为同心圆 F(注意颜色的对应),O3的反形通常为另一个圆。 图 8:红圆E 为反演基圆 步骤步骤2.2.求反形圆的半
19、径的大小求反形圆的半径的大小 如图,Z为反演基圆,半径为c,X的半径为a,它的反形为Y, 半径为b ,图中c、a、XZ为已知,求出b的表达式。 【常规解答之点点线问题】 7 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 图 9:用定义确定 a、b、c、ZX 间的关系式 ZA1ZA2=(ZX+a)(ZY-b)=c 2 ZB1ZB2=(ZX-a)(ZY+b)=c2 消除ZY得:b = ? ? 步骤步骤3.3.在图在图7 7中红圆的半径为中红圆的半径为R R,可算出来可算出来:左边左边R=R=? ? 右边右边R=R=? ?
20、 , , 红圆的反形即为解圆红圆的反形即为解圆,用步骤用步骤2 2的方法就可求出解圆的半径了的方法就可求出解圆的半径了。 具体一点就是:在下面右图中,已知三圆为O1、O2、O3,它们 的半径分别为ri i(i=1、2、3),以E(EF)为反演基圆。则反形对应为: O1F(大),O2F(小),O3G,反形的半径为RF F、rF F、rG G。 由步骤2可得:R?= ? ? 、r?= ? ?、r?= ? ? 。在中图中,同 心圆F(两个)和G的切圆为A、B、C、D,它们的半径 rA A=rB B=rC C=rD D= ? ? ,还有四个切圆未画出,它们的半径都为? ? 。在右 图中,以A为例,作A
21、的反形A?,A?就是解圆,设其半径为r?, 则r?= ? ? ,至此解圆的半径就逐步算出来了! 我们不厌其烦地解释了两种用代数求半径的方法,但是它们不是我 们追求的目标,我们追求的是一种简洁的纯几何方法,来解决阿波罗尼 奥斯问题。纯几何法作图法就是本书介绍的重点,至此代数法在后续章 节就很少提及了。 【常规解答之点点线问题】 8 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索! ! 第第二二章章 阿波罗尼奥斯问题之解法基础阿波罗尼奥斯问题之解法基础 第第一一节节 常用定理及结论常用定理及结论: (定理和结论恕不证明,原因是本
22、书不是一本习题集) 1 1. .什么条件确定一个圆什么条件确定一个圆? (1)已知圆心和半径,可以确定一个圆。 (2)不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多,是重点)。 2.圆幂定理圆幂定理 (1)割线定理:圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等。 (2)结论:共根心的多圆顺次相交时,积(或幂)具有传递性。 (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是割线和这点到 割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 【常规解答之点点线问题】 9 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光,可可完完结你黑暗中的漫漫求索结你黑暗中的漫漫求索!
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