对初中学段数学抽象能力的教学思考.pdf
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1、书 书 书第 卷第期 年月 ,学科研究对初中学段数学抽象能力的教学思考邢成云,王尚志摘要:抽象是数学的基本特征,也是用数学眼光观察现实世界的基本方式。数学化的过程就是抽象的过程。在课堂教学中落实并加强数学抽象能力培养可以体现在以下八个方面:在概念的来龙去脉中,在命题(公式、性质、法则、定理)或原理的形成与发展中,在规律的探索与应用过程中,在几何直观的形成与发展过程中,在数学建模及其应用过程中,在数学思想方法的凝练过程中,在解题(解决问题)的过程中,在三种语言的转换过程中。关键词:课程标准;数学抽象;抽象能力;培养路径中图分类号:文献标志码:文章编号:()作者简介:邢成云,山东省滨州市教育科学研
2、究院教授(滨州 );王尚志,首都师范大学教授、博士生导师,教育部普通高中数学课程标准研制组副组长、修订组组长(北京 )。学生若直接接受教材和教师抽象出来的数学知识,往往难以打通这些知识与原始的、具体材料之间的联系,也难以产生知识的迁移力,而这恰恰是学生最需要、最有用、可带走的东西,是核心素养之所在。作为数学三大基本思想之首的“抽象”,其重要性在学界早已成为共识,可在当下的课堂教学中,数学抽象却没有得到足够的重视。这就给一线教师提出一个现实而又严峻的问题:如何帮助学生学会数学抽象,如何通过抽象深入认识数学的本质。一、对数学抽象及其意义的认识义务教育数学课程标准(年版)共有 次提到“抽象”;普通高
3、中数学课程标准(年版)把“数学抽象”放在个数学学科核心素养的首位;义务教育数学课程标准(年版)(以下简称课标 )初中学段把“抽象能力”放在核心素养大主要表现的首位,“抽象”一词出现 余次。这足见课标对“抽象”的重视。柏拉图认为,抽象是人们发现数学概念和命题等数学知识的过程。史宁中教授也说:“数学在本质上研究抽象的东西,数学发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。”这两句话都告诉我们,数学与抽象是紧密相连的,进而言之,没有数学抽象就没有数学,数学抽象能力是数学(思维)能力的核心,也是数学核心素养的核心。数学抽象是指用数学的眼光来观察现实世界,这种意识至关重要,它是数学核心素养形成的必由之路。“由
4、于数学具有抽象性和概括性的特点,学习者只有具备一定程度的抽象概括能力,才能对数学对象的认知实现质的飞跃。”曹才翰教授的这句话告诉我们,在数学学习的过程中,学生只有具备了良好的数学抽象素养,才能更好地发挥数学思维的力量,透过现象看到本质。如此,学生才能更透彻地理解那些相对复杂的数学知识,明白其来龙去脉,悟透其真正含义。久而久之,就会养成从更一般的意义和方法上思考问题的习惯,增强其抽象概括能力,进而促进理性思维的不断发展。所以说,对学生而言,数学抽象 既是一个获知增智的过程,也是一个思维品质发展进阶的过程。数学教育的根本目的“在于让学生会抽象(能把握事物的本质),会推理(能理清事物的关系),会建模
5、(能发现事物中的规律),从而提高学生的数学素养”。可见数学抽象能力是数学学习得以发生的保障,是数学推理和数学建模的前奏。二、课标 对数学抽象的定位课标 除了关于核心素养之抽象能力的主要表现及内涵与初中学段“学业质量描述”的论述,还有诸多地方从不同侧面对抽象进行了描述。下面从三大领域对相关抽象的论述做一梳理与分析。(一)“数与代数”领域在其综述部分以“数与代数领域的学习,有助于学生形成抽象能力”进行总体统领。然后“教学提示”部分,给出了以下功能定位:“初中阶段数与代数领域包括数与式方程与不等式和函数三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形
6、成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体。”接下来又提出“通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象”,在初中学段让学生进一步感悟“数是对数量的抽象”的具体化进阶要求。(二)“图形与几何”领域先在综述部分通过“这样的学习过程,有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观,提升抽象能力和推理能力”进行整体价值定位。而后在图形的性质中提出“知道图形的特征、共性与区别,理解线段长短的度量,探究并理解角度大小的度量,理解两条直线平行或垂直的关系,形成和发展抽象能力”的学业要求。再在接下来的“图形与坐标”中提出“在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出
7、问题,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识,提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等”学业要求,突出几何的眼光。最后提出“初中阶段,主要侧重学生对图形概念的理解,以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解,要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力”的教学方向,进一步在图形的性质教学中确立“要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界”的几何课程教学目标,让数学抽象成为学生的常态思维工具。(三)“综合与实践”领域不
8、论是内容要求还是学业要求、教学提示,“用数学的眼光观察现实世界”“经历现实情境数学化”“构建数学模型”这样的语言均体现了数学化的过程,而数学化的过程就是抽象的过程,数学抽象在此起着决定性作用。也就是说,这一领域可让数学抽象得以充分发挥,为历练和提升学生数学抽象能力提供优质素材。三、课堂教学中加强抽象能力培养的八个方面朱立明等给出了培养学生抽象素养的两个基本途径:其一是从现实具体存在中抽象获得;其二是借助相关数学符号或类比获得。林京榕等提出,教学中培养学生抽象素养的三个方面是:“经历数学概念的抽象;培养数学抽象的方法;认识数学结构与体系。”我们知道,初中是学生形象思维与抽象思维并存的学段,也是从
9、形象思维向抽象思维发展的过渡期,但这个过渡不会自行发生,需要教师发挥其主导作用,设计好落实数学抽象的有效路径。通过统合本研究领域专家学者的观点,结合笔者长期以来的实践与思考,文本提出初中学段加强学生抽象能力培养的八个方面。(一)在概念的“来龙”“去脉”中培养抽象能力“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也!”李邦河院士一语道的,揭示出数学教学的本质。我们知道,概念是构成教材的基本结构单位,单单在现行初中数学教材中就大约有 个数学概念。正是因为这些串起数学教材的一系列概念的存在,才有了初中数学教材的结构化知识。“概念教学是数学教学的重中之重,而得出数学概念的过程是最典型的数学抽象的过程。
10、”而数学概念本身又是高度抽象的,所以在教学中,发展学生的抽象素养既是概念学习的需要,也是数学学习的需要。概念学习通常经历两种不同层级的抽象过程:一种是从数学外部的事物出发,经过数学化抽象出数学概念(水平性抽象);另一种是在数学内部,对已有数学概念的进一步抽象(垂直性抽象)。数学抽象是形成、建立数学概念的重要逻辑手段,数学概念的形成是最基础的数学抽象过程。章建跃给出的数学概念教学的六个基本环节,也可认为是数学抽象的基本路径,包含创设问题情境、共性分析与概括本质属性、下定义、概念辨析、概念初步应用、概念“精致”。若学生经常性地经历上述概念形成的六个环节,慢慢就会从中学会数学抽象的基本过程:分离属性
11、与发现模式建构模型与普适化定义与符号化系统化。为了更好地体验抽象、感知抽象、学会抽象,只从感性的具体到理性的抽象而获取概念还不够(从特殊到一般,这是知识的“来龙”),还需要从理性的抽象走向理性的具体(从一般到特殊,如举例子或演绎推理),再从形式化的抽象走向形式化具体,即知识的具体应用过程(这就是“去脉”)。在这样充分体现概念的形成、理解、运用的完整过程中磨炼学生,进行抽象概括的不断研习而慢慢把握概念,才会有更深的具身体验。从数学自身的发展来看,数学概念的获得有两种基本方式。一是概念形成(即通过直接经验获得概念的方式),它一般是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得,是一个归纳概括的弱抽象过
12、程,即横向数学化的抽象。如研究全等形时,基于笔者提出的“整体化教学”,先展示丰富的图形组(含有全等变换、相似变换、等积变换三类变换关系),在观察的基础上通过比较、分类进行弱抽象,把全等变换、相似变换、等积变换整体结构勾勒出来,然后从最特殊的全等三角形入手展开探索。后继相似三角形的研究,则可由全等三角形形状相同、大小相等的特征内涵,减缩为形状相同这一情形,即能获得相似三角形的概念。这是一次弱抽象。二是概念同化(通过间接经验,即通过定义的方式获得概念),它一般通过建基于抽象的数学理论上的多级抽象而获得,即纵向数学化抽象。与此相对应的定义性概念、二级概念和科学概念的获得方式就是概念同化(具有一般到特
13、殊、抽象化到具体化的演绎特征),如:四边形平行四边形矩形或菱形正方形的概念同化发展线,就是不断进行强抽象;函数一次函数正比例函数发展线、三角形等腰三角形等边三角形发展线、相交垂直发展线、加权平均数算术平均数发展线等,均为增加内涵而使外延随之缩小的过程,这类抽象也是强抽象。不过,从整个初中数学学段来看,从现实生活世界获得的形成性概念并不多,大部分是逻辑建构的结果,是建基于原有数学对象(定义)之上通过逻辑定义建立或构造起来的(强抽象、弱抽象)。比如二次函数概念的教学时,创设如下问题情境:用一根长为 的铁丝首尾顺次相接围成一个矩形,当矩形的两边长分别是多少时,矩形的面积最大?若学生凭借经验和直觉给出
14、“矩形的长宽相等时面积最大”时,可追问:为什么长与宽相等时面积最大?矩形的面积和它的长、宽具有怎样的关系?借此引出符号化(抽象)行为。若不从学生经验和直觉引出问题,也可直接引导学生将问题符号化(抽象):设长为狓,则宽为(狓),则面积犛狓(狓)狓 狓。至此,继续引导学生对犛与狓之间的关系进行分析,设计出问题链:()犛与狓之间是什么关系?()如何为二次函数下定义?()你还能举出一些不同形式的二次函数吗?经过对层层递进的系列问题的探讨交流,在具体抽象具体的迭代过程中得出并表征二次函数的定义(表达式)。杜宾斯基的结构教学法,也是完整呈现概念形成过程的数学抽象行动,我们不妨在概念教学时尝试一下。(二)在
15、命题(公式、性质、法则、定理)或原理的形成与发展中培养抽象能力命题一般建基于原初概念之上,经历数学命题的探究过程,其中富含概括、抽象等数学活动。所以说,大多是通过二次及以上的抽象来完成的,弱抽象、强抽象在此发挥着重要的作用。初中数学领域的知识,除了基本概念,还有大量的以命题形式表达的公式、性质、法则、定理 (性质定理、判定定理)等,这些命题知识的探索、发现过程,一般是先考察一些典型例证,再概括出它们的共同特征或共同规律。这就是一个不断抽象的过程。进一步说,学习数学,几乎天天与公式、定理等打交道,若引导学生不断经历这样的研习,拉长抽象思维的历练过程,变掌握“专家结论”为学会“专家思维”,抽象能力
16、就会在这个过程中发展起来。比如,人教版初中数学七年级“有理数”一章中有很多法则的发现及其符号化就是通过归纳概括抽象形成的,归纳一词在这一章中出现的频率特别高。这其实是在给教师传递一个信号:要引导学生充分利用这些素材尝试概括(本身就是一种抽象)、尝试抽象、学会抽象。有的数学公式等的发现与形成就来自逻辑推理,或为一般化或为特殊化,这都是进一步的抽象。如从多项式乘法法则到(狓犿)(狓狀)狓(犿狀)狓犿狀,再到乘法公式,就是一步步弱抽象,而从勾股定理到余弦定理就是强抽象。但也有一部分公式是具有原生意义的公式、法则等,要通过从具体到抽象的过程才能获得,如人教版七年级“有理数”一章第 页数轴上任意两点间的
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