多解思维%2C多层拓展%2C多向归纳--以2021年高考数学新高考Ⅰ卷第15题为例.pdf
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1、多解思维,多层拓展,多向归纳 以 年高考数学新高考卷第 题为例山东省淄博第七中学孙丽云函数的最值问题,一直是高考中比较常见的一类题型,背景新颖,创新多变此类问题可以选择题或填空题的形式出现,也可融入解答题中,形式多样既可以基本初等函数的组合形式来设置,也可与其他数学知识的交汇与融合来设置,变化多端具体破解时,思维多样,方法多变,可以很好地考查学生的数学知识、数学思想方法和数学能力等,充分体现高考的选拔性与区分度真题呈现高考真题(年高考数学新高考卷第 题)函数f(x)|x|l nx的最小值为真题剖析该题题目简洁明了,条件简单易懂,以一个“一次函数的绝对值”与一个“对数函数”的差式来建立相应的函数
2、,进而确定该函数的最小值以简单条件进行复合与提升破解本题的思维各异,方法多样,可以通过去绝对值符号进行分类讨论,结合函数的单调性来确定相应的最小值;也可以借助函数图象,通过数形结合并利用导数的几何意义加以求解;还可以借助“对数不等式”的重要结论合理放缩,巧妙转化,利用不等式的性质加以处理等真题破解方法:分类讨论法解析:函数f(x)|x|l nx的定义域为(,)当x时,f(x)x l nx,此时函数f(x)在区间(,上为减函数,所以f(x)f()l n l n 当x时,f(x)x l nx,则f(x)x(x)x当x(,)时,f(x),f(x)单调递减;当x(,)时,f(x),f(x)单调递增所以
3、当x时,f(x)取得极小值为f()l n而 l n l n l ne,所以函数f(x)在x时取得最小值,且最小值为故填答案:点评:根据函数的解析式确定函数的定义域,结合绝对值定义对自变量x进行分段处理,进而分类讨论一方面直接利用函数的单调性来确定极值,另一方面通过对函数求导,结合函数的单调性来确定相应的极值,最后再确定函数的最小值分类讨论法综合了函数的单调性、导数及其应用等方法:导数的几何意义法解析:令f(x),可得|x|l nx图在同一平面直角坐标系中,作 出 函 数g(x)|x|,h(x)l nx的图象,如图所示数形 结 合 可 知,要 使函数f(x)|x|l nx取得最小值,那么当自变量
4、x时,考虑函数h(x)l nx图象的切线与直线yx平行的情形求导可 得h(x)x,则 由x,解 得x所以当x时,函数f(x)|x|l nx取得最小值f()|l n所以函数f(x)|x|l nx的最小值为故填答案:年 月上半月 复习指引复习备考点评:根据函数与方程的转化,将题目条件中的函数解析式转化为两个基本初等函数,通过作出对应函数的草图,数形结合确定函数取得最小值时的情形,结合导数的几何意义,进而求解对应的最小值利用数形结合法,在考试中只能作出简单的草图,加以直观想象,巧妙应用方法:重要结论法解析:根据“对数不等式”的重要结论“l nxx,当且仅当x时等号成立”,可知f(x)|x|l nx|
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