对解析几何中韦达化以及非对称韦达化处理的策略分析.pdf
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1、2023 年第 9 期(上)中学数学研究43对解析几何中韦达化以及非对称韦达化处理的策略分析*四川省成都市第七中学(610041)罗文力四川省成都市西北中学(610021)周祝光成都市教育科学研究院(610014)黄祥勇解析几何基本思想是用代数的方法处理几何问题.其基本的解决问题策略是先用几何的眼光观察分析问题,再用代数的方法进行运算.数学运算本质上也是一种思维模式.这种思维模式的过程包括:理解运算对象 掌握运算法则 探求运算思路 选择运算方法 设计运算程序 求得运算结果.在具体解决问题的过程中,当探求了运算思路后,如何选择合理的运算方法和处理策略对求得运算结果显得尤为重要.解析几何中常见的运
2、算处理思路是将直线与曲线方程联立后,用方程根的性质来进行化简完善.考虑到中学阶段的圆锥曲线以二次曲线为主,与直线方程联立后获得一元二次方程,一元二次方程中韦达定理的使用是一种常见策略.对于非对称的韦达化结构,文 1-4 等均有研究,但此类研究主要停留在具体问题或者具体结构,对于非对称韦达化与韦达化之间的关联转化分析不够全面.故此,本文从韦达视角探析对代数式的运算处理策略.一.韦达化处理核心条件坐标化后,并不全是直接韦达化的形式.对于坐标化后的表达式不是韦达形式的,还需进行韦达化处理.韦达化主要有两个路径:代换和配凑.(一)韦达化处理一:代换在 x,y 二者中消去其一由于我们联立后的方程式关于
3、x 或 y 的二次方程,韦达定理中的两根之和与两根之积只是单独的 x 或 y 的形式,而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式,因此需进行代换.案例 1直线 l 与抛物线 y2=2x 交于 A,B 两点,且满足 OAOB,证明:直线 l 过定点.部分解析 由题意,直线 l 不与 x 轴平行,故设 l:x=ty+m,其中 m=0,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 l 有抛物线的方程消 x 得:y2 2ty 2m=0,0,则y1+y2=2t,y1y2=2m,因为 OAOB,则 OA OB=0,即 x1x2+y1y2=0.余下的求解过程有两个思考方向:方 向 一(直 线 代 换)由 于x1
4、=ty1+m,x2=ty2+m,从 而,x1x2=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2,代入得:x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=2t2m 2m+2t2m+m2=0,即 m22m=0,解得 m=0(舍)或 m=2,即直线 l 过定点(2,0).注 通常情况下,我们在解答题以直线代换居多,这里不再赘述.但需要注意一点,一般而言,如果选择代换消去 y,则正设直线;如果选择代换消去 y,则反设直线.方向二(曲线代换)由于 x1x2=y212y222=(y1y22)2,代入得 x1x2+y1y2=(y1y22)2+y1y2=m2 2m=0,解得m=0(舍)或 m=2
5、,即直线 l 过定点(2,0).注 对于核心信息表达式中的一次项,一般以直线代换为主.而曲线如果为抛物线,也可以用抛物线代换,如例题中抛物线为 y2=2x,因此对于 x 的一次式可以用曲线代换.反之,如果抛物线为 x2=2py(p 0)则可用曲线对 y 进行代换,由于我们要代换的是 y,因此联立后的方程保留为关于 x的二次方程,同时直线的假设则以正设为主.另一方面,如果核心信息表达式中是单元的二次形式,如 x21形式,则一般考虑用曲线代换,这样处理会更加简单.案例2 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆:x22+y2=1的上顶点为 A,点 B,C 是 上不同于 A 的两点,且点 B,C关于原点对称
6、.记直线 AC,AB 的斜率分别为 k1、k2,求证:k1 k2为定值.分析此题中核心信息即直线 AC,AB 的斜率.由题易知点 A(0,1),要表示 AC,AB 的斜率,还需要引入参数,因为B,C 关于原点对称,故不妨设 B(x1,y1),C(x1,y1),那么是否需要引入直线方程呢?对此略作分析如下:引入参数后,将斜率坐标化表达:k1=1+y1x1,k2=1 y1x1;目标信息为斜率之积,即 k1k2=1+y1x11 y1x1=1 y21x21.接下来需要考虑代换问题,观察到目标信息是二次形式,代换中我们提到,对于单元二次形式的,可采用曲线代换,由于此时还未引入直线方程,看来也是不需要了.
7、由点 B,C 在*本文系四川省教育科研资助金项目重点课题 普通高中单元主题教学实践研究(课题编号 SCJG20A010)的阶段性研究成果44中学数学研究2023 年第 9 期(上)曲线上,故有x212+y21=1,即 y21=1 x212,代入目标信息中可得 k1 k2=x21/2x21=12,为定值.解析依题意,设点 B(x1,y1),C(x1,y1),则 k1=1+y1x1,k2=1 y1x1,又点 B 椭圆上,故有 y21=1 x212,代入可得 k1 k2=1+y1x11 y1x1=1 y21x21=x21/2x21=12.故原命题成立.(二)韦达化处理二:配凑配凑法进行韦达化处理,一
8、个经典案例就是弦长中的|x1 x2|=(x1+x2)2 4x1x2.对于前述坐标化后的部分式子,也需要作配凑处理.1.(x1 2)2+y21=(x2 2)2+y22 x1+x2 4=(y2 y1)(y1+y2)x1 x2.即 x1+x2 4=k(y1+y2),其中 k 为直线 AB 斜率;对y1+y2再用直线代换,即 y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,得 x1+x2 4=k k(x1+x2)+2m.此处需注意两点,一是y2 y1x2 x1=k,几何意义即为直线斜率,二是通过平方差公式因式分解转化,对于含平方形式是有力手段.2.y21+y22(y1+y2)2 2y1y2
9、.3.(x1 2)(x2 2)+y1y2=0.x1x2 2(x1+x2)+y1y2+4=0.此处 y1y2考虑直线代换,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,再代入上式可得(k2+1)x1x2+(mk2)(x1+x2)+m2+4=0,4.y1x1 2+y2x2 2=1 y1(x2 2)+y2(x1 2)=(x1 2)(x2 2).而y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,整理得(2k+1)x1x2(2k m+2)(x1+x2)4(m 1)=0.5.对于y1y2=2 可以考虑倒数关系y2y1=12,故y1y2+y2y1=y21+y22y1y2,
10、配凑可得y1y2+y2y1=(y1+y2)2 2y1y2y1y2=52.二.非对称韦达形式的处理在一些定点、定值、定线问题中,还常出现需要证明类似(y2 2)x1(y1+2)x2为定值的情形,通过直线代换可得:(y2 2)xl(y1+2)x2=(kx2+2)x1(kx1+6)x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2,但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式,这种式子一般称为“非对称韦达定理”.我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 x1+x2和 x1 x2之间的关系,将其中一个替换,常用手段是把乘法的替换成加法.案例 3已知点 F 为椭圆 E:x24+y23=
11、1 的右焦点,A,B 分别为其左、右顶点,过 F 作直线 l 与椭圆交于 M,N两点(不与 A,B 重合),记直线 AM 与 BN 的斜率分别为k1,k2,证明k1k2为定值.此题条件为直线 AM 与 BN 的斜率 k1,k2,显然要设点,不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2),而由题可知 A(2,0),B(2,0),因此 k1=y1x1+2,k2=y2x2 2从而目标信息k1k2=y1(x2 2)y2(x1+2),要证明其值为定值.从目标信息的形式来看,用 x 或 y 表示并无差异,考虑到直线不与 x 轴重合,故采用反设直线要方便些,因此设 l:x=ty+1.通过直线替换后可得k1k2=
12、y1(x2 2)y2(x1+2)=y1(ty2 1)y2(ty1+3)=ty1y2 y1ty1y2+3y2,出现了韦达定理结构之外的形式,即落单的 y1和 3y2,像此类结构,一般被称为“非对称韦达”,下面我们介绍几种常见的处理策略,为此,先联立 l:x=ty+1 与x24+y23=1,消x 得(4+3t2)y2+6ty 9=0,易知 0,则y1+y2=6t4+3t2,y1y2=94+3t2.策略一:和积转换找出两根之和与两根之积的关系如本例中由韦达定理可得,ty1y2=32(y1+y2),代入目标信息得,k1k2=ty1y2 y1ty1y2+3y2=32(y1+y2)y132(y1+y2)+
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