多角度计算一个三棱锥的体积.pdf
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1、多角度计算一个三棱锥的体积甘肃省张掖市体育运动学校张青凤摘要:以一道立体几何试题为例,分别从向量法、割补法、等价转化以及质点几何学等视角研究三棱锥的体积通过一题多解建立知识间的联系,开拓学生的视野,提升学生的数学素养关键词:向量法;割补法;质点几何体积问题是立体几何中的一个常考问题,如何解决此类问题呢?首先,识别所要计算的立体图形;其次,分析图形的结构特征常见的解决方法包括:公式法、割补法、向量法对于较为复杂的图形,还可以利用等价转化法、质点几何法、祖暅原理法求解下面通过一道立体几何模拟题来展示计算体积的各种方法题目及分析图(届 广 东 省 月 份 联考第 题改编)如图,已知正方体A B C
2、D ABCD的 棱 长 为,M,N分 别 是AD,C C的 中点,P,Q分别是 线 段A B,CD上的 点,且A PP B,CQQ D,求 三 棱 锥Q PMN的体积分析:本题所需求体积的几何体为一个三棱锥,如果直接选择公式求解,其难度主要集中在“高”的运算上对于高的运算,可利用几何法即通过空间中线面间的位置关系构造出“高”再进行计算;或利用向量进行计算解题探析方法:通过计算三棱锥的高来计算体积因为在本题中利用几何法计算三棱锥的高需要构造较多的辅助线,且证明过程较为冗长本文中不运用该方法求解仅介绍如何利用向量法求解利用向量法求解三棱锥的高,即将“高”的运算转化为点到平面的距离问题已知点P,A以
3、及平面,设点P,A,m为平面的一个法向量,则点P到平面的距离dP Amm如图,以D为原点,以直线D A为x轴,D C为y轴,DD为z轴建立空间直角坐标系图利用 法 向 量 的 运 算 法则,可得平面PMN的一个法向量为m(,),MQ(,)利用公式即可得点Q到平面PMN的距离为dQMmm 另外,通过计算PMN的各边长再通过正、余弦定理或海伦公式可求得其面积S,从而可得三棱锥Q PMN的体积VQ PMNS d图方法的 思 维 过 程 较 为 简单,但运算过程较为复杂,特别是PMN面积的运算现再介绍一种较为简便的运算方法如图,过点C作MP的垂线,垂足为T,连接NT根据三垂线定理可 得NTMP,即 可
4、 知NT为PMN的高易知C T,所以NT,从而可得SPMN 在求解的过程中,首先要善于观察图形中直线与平面的位置关系,选择恰当的角度有效地减少运算量其次,对于点到平面的距离可类比点到直线的距离的公式进行计算其求解思路如下:在空间直角坐标系中,求解出平面PMN的方程:xy z所以,点Q,到 平 面PMN的 距 离 为d()年 月上半月 试题研究命题考试方法:割补法求解图如图,延长QN,D C相 交 于 点T,连 接MT,P T考 虑 三 个 三 棱 锥Q MP T,Q MPN,N MP T根 据 体 积 的 可 加 性 知VQ MPNVQ MP TVN MP T据此可将原三棱锥的体积转化为两个易
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