多思维切入%2C妙方法解决——一道椭圆与双曲线共焦点问题的探究.pdf
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1、数学之友2023年第11期多思维切人,妙方法解决解题探索一一道椭圆与双曲线共焦点问题的探究李勤(东莞市商业学校,广东东莞,5 2 3 10 7)摘要:共焦点的圆锥曲线问题,以焦点为公共信息,合理串联起不同圆锥曲线之间的关系,是综合应用问题的一大创设场景.本文结合一道高考模拟题,以共焦点的椭圆与双曲线为场景,不同思维视角切入,不同技巧方法应用,不同变式视角拓展,以期引领并指导数学教学与复习备考.关键词:椭圆;双曲线;焦点;离心率涉及共焦点的椭圆与双曲线的综合应用问题,具有场景创设巧妙,涉及信息量大的特点,是近几年数学试卷中比较常见的一类热点题型.此类问题人口较宽、切入点多,解题思路宽阔,解法灵活
2、多样,非常1有1MF,I=C.2由椭圆的定义可得IMF,I=2a-IMF,I=2a-2C1符合“三新”(新教材、新课程、新高考)的基本理念,倍受命题者青睐.1问题呈现问题:(2 0 2 3 届湖南省长沙市雅礼中学高三上学由双曲线的定义可得,0 2 a=IMF,I-IMF,I=2a1.-1-c=2-c2c(三角形的基本性质:三角形22两边之差小于第三边),则有2 aQc23期月考(四)(2 0 2 2 年12月)数学试题16)设F1,F,同时为椭圆Ci:+a=1(b0)与双曲线62:1(ai0,b,42:20)的左、右焦点,设椭圆C,与双曲线C在第一象限内交于点M,椭圆C,与双曲线C2的离心率分
3、别为ei,e2,0为坐标原点,若IF,F21=41MFz1,则eje2的取值范围是本题以椭圆与双曲线两个不同圆锥曲线共焦点为场景来创设问题,抓住两曲线在第一象限内的公共点,结合该交点与两焦点之间的对应线段的长度关系,进而利用两圆锥曲线的定义加以展开分析来处理解决问题.21问题破解2.1思维视角一:定义思维方法1:(定义法1一表示成ei的函数)解析:因为1F,F,1=41MF,1,即2 c=41MF,1,则86_数之友即ei EM0FF,),亦即一Ee12e12c2c又e22a12a-c2-e12,故填答案:2e1方法2:(定义法2 表示成c的函数)解析:因为1F,F,1=41MF,1,即2 c
4、=41MF,1,则1结合三角形的基本性质:三角形两边之差小于第三边可得12a=IMF,I+-c2c2,则有IMF,1 e12a1c2c22c2c所以eie22a2a1IMF4c2,故填答案:2e2所以eie22-e1212e14822c2c11IMF2C2数学之友方法3:(定义法3 一一表示成一的函数解析:因为1F,F,1=4IMF21,即2 c=41MF,1,则1有 IMF,I=-2C由椭圆、双曲线的定义可得所以2 a-2a,=c,而结合椭圆与双曲线共焦点的图形特征,可得jc,则有jc=2-21,即 3 IF,F,1,即(2 a,+C222c,整理,得 2 a,c=2a-2a,即 4a,2a
5、,亦即=0)与双曲线 C2=1(i0,b,0)的左、右ai6321焦点,设椭圆Ci与双曲线Cz在第一象限内交于点M,椭圆C,与双曲线C,的离心率分别为e1,e2,02c2c-2,所以eje22a2a1aa1,故填答案:4(a-a,)2aai为坐标原点,若IF,F2I=41MF,I,则一+2围是解析:因为1F,F,1=41MF,1,即2 c=41MF,1,则1有1MF,I=2C的取值范e解析:设IMF,I=m,I M F1=n,焦距为2 c.由椭圆的定义可得m+n=2a.由双曲线的定义可得 m-n=2a,解得 m=a+aj,n=a-aj.1由IF,F,1=41MF,I可得2 c=4n,即a-a,
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