多思维突破%2C多视角变形—— 一道三元最值题的探究.pdf
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1、数学之友2023年第12 期多思维突破,多视角变形解题探索一一道三元最值题的探究曹黎星(苏州市相城区望亭中学,江苏苏州,2 15 15 5)摘要:三元最值问题一直倍受高考数学命题者的青睐.这种问题能较好地交汇相关数学知识,融合数学知识、思想与能力,同时条件多变,情境创新,灵活变通,可以很好地拓展思维与反映数学能力.本文将结合一道模拟题的多解思维,一题多解,多向变式与规律总结,引领并指导教师进行数学教学.关键词:最值;基本不等式;三角换元;柯西不等式相比较于双元最值问题,三元最值问题在问题维度、深度与难度等方面都有一定的提升,是近年高考、竞赛等数学试卷中的一个常见题型与热点问题,根据变元的次数、
2、系数、运算符号以及对应的表达关系式等,可以与众多其他相关知识加以交汇与融合,实现对数学基本知识与数学基本能力等的全方位考查.1问题呈现【问题1】(2 0 2 2 2 0 2 3学年广东省深圳高级中学(集团)高三(上)第一次调研数学试卷)已知正数x,y,z满足x+2+2=1,则的最小值为Z().A.6此题以三元正实数的平方和为确定常数这个条件来创设问题情境,通过三元所对应的分式关系式的最值来创新设置.同时,分式关系式不具有对称性与轮换性,给问题的破解提供了更多的障碍,设置了更多的困难。2问题破解方法1:二次利用基本不等式法解析:由于正数x,z满足x+y2+2=1,由基本不等式,得1-2=x+2x
3、y,即-2xy1,当且仅当=y时等号成立,则有 5 -8 xy 5+4(22-1)=4z+1.4 22+1由基本不等式,得=4z+ZZ2/4z二=4,当且仅当4z=Z1Z=时等号成立.25-8xy所以的最小值为4,故选择答案:C.解后反思:根据题设条件与所求结论,其中变量,y的“地位”相同,第一次利用基本不等式时,视变量z为“静止”的常值,结合关系式的变形与转化,再恢复变量z的变量身份.第二次再对于利用基本不等式来得到最值.在解决多元最值问题时,经常采用相关的常值与变量的变化关系和不等式来进行分析与求解.5-8xy方法2:三角换元法一一单角参解析:由于正数x,y,z满足x+y+2=1,可得x2
4、+y2=1-2,B.5C.45-8xyD.3V6即4,结合三角换元,可得=/1-2 cos9,y=/1-2sin,0=(0,5-8xy5-8(1-z2)sin Qcos 0则有5-4(1-2)sin 20Z2V421=4,当且仅当sin20=1且4z=1,即x=/61时等号成立.25-8xy所以的最小值为4,故选择答案:C.解后反思:根据题设条件与所求结论,其中变量,的“地位”相同,视变量z为“静止”的常值,再进行三角换元处理,根据所求代数式的三角关系式的变形,利用三角函数的图象性质进行放缩处理,进而2023.12_595-4(1-2)Z422+1Z数学之友恢复变量z的变量身份,利用基本不等式
5、来得到最值.该解法巧妙综合三角换元与基本不等式的综合应用,切实可行地确定对应多变元代数式的最值问题方法3:三角换元法一一双角参解析:由于正数x,z满足x+y+2=1,利用三角换元可设x=cossin,y=sinsin,z=cos 0,其中,=(o,号)那么5-8xyZ5-4sin 2 sin5-4 sinecos 0cos 01+4 cos01+4cos 0 2.cos Ocos 0当且仅当sin2=1且1时等号成立.2所以5-8xy的最小值为4,故选择答案:C.Z解后反思:对三元平方和的关系式通过两个角参的引人来进行三角换元处理,结合所求代数关系式的三角恒等变换,利用三角函数的图象性质以及基
6、本不等式来进行合理放缩处理,进而得以确定相应的最值问题.这里利用三角换元法的关键就是对三元平方和的关系式的两角参的换元处理,这也是破解问题的关键与重点所在.3变式拓展保留题目三元正实数的平方和为确定常数这一条件,结合对不同思维视角变形能力的考查,在原来问题的基础上,从拓展变形以及综合变形等多个视角展开,可以得到一些相关的创新性应用问题.3.1拓展变形【变式1】已知正数x,y,z满足+y+=1,11则?+2y2解析:根据题意,由于正数x,y,满足+y+=1,分解可得(x+2y)+(y+22)+(2 2+2 x)=3(x2+y2+2)=3.由柯西不等式,得(+2y)+(y+2z)+1(22+2x(
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