非厄米格点模型的经典电路模拟.pdf
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1、专题:华南师范大学建校暨物理学科建立 90 周年非厄米格点模型的经典电路模拟*徐灿鸿1)许志聪1)周子榆1)成恩宏1)郎利君1)2)1)(华南师范大学物理学院,广州510006)2)(华南师范大学,广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006)(2023年 6月 1 日收到;2023年 8月 7 日收到修改稿)量子模拟是研究和理解量子世界中奇异物理现象的重要手段.近年来,人们发现除了量子平台,经典系统(如光子晶体、声子晶体和机械振子等)也能通过类比薛定谔方程的方式模拟量子模型.其中,经典电路因具有成本低廉、技术成熟和易于扩展等特点,成为一个新兴的模拟平台,并成功模拟了许多重要的量子现象
2、.与此同时,非厄米物理突破了传统量子力学中系统哈密顿量的厄米性,为人们理解量子系统,尤其是开放量子系统中的物理,提供了一种新的视角.非厄米系统由于展现出不同于厄米系统的新奇现象,在物理学的多个领域中成为新兴的研究对象.然而,许多非厄米现象所要求的奇异构型在量子平台上实现的技术门槛相对较高,例如非厄米趋肤效应通常需要系统具备非互易的格点间跃迁.因此,利用操控灵活的经典电路模拟非厄米物理成为一种自然的选择.本文旨在通过简要介绍非厄米物理的相关知识(包括数学基础和新奇现象)以及经典电路的模拟理论(包括对格点模型的映射理论、非厄米的引入和物理量的测量等),概述当前经典电路模拟非厄米格点模型的实验进展,
3、为相关研究工作提供参考,以推动该领域的进一步发展.关键词:非厄米物理,经典电路模拟,PT 对称破缺,非厄米趋肤效应,非厄米拓扑PACS:03.67.Ac,03.65.Vf,73.43.NqDOI:10.7498/aps.72.202309141引言量子模拟的概念最早由著名物理学家费曼提出1,以解决复杂量子系统无法用经典计算机模拟的问题,从而更好地理解奇异的量子世界.随着低温、超导等极端技术的发展,人造量子平台(如冷原子24、离子阱57、超导量子比特810等)表现出系统纯净、可控性强等优势,成功模拟了许多重要的量子现象.然而,量子模拟平台对技术条件要求苛刻且容易受环境影响而发生退相干11,导致实
4、验成本很高.近些年,研究者们发现主导经典系统的物态方程在一定条件下可以与量子系统所遵循的薛定谔方程相对应12,因此,经典系统(如光子晶体1318、声子晶体1924、机械振子2530等)同样可以用来模拟量子现象,并且具有成本低廉、技术成熟和扩展性强等特点.尤其是近期兴起的经典电路系统31,32,原则上可以模拟任意维度和任意边界条件下具有任意格点间跃迁的量子紧束缚模型(即格点模型).利用经典电路,人们已经成功模拟了许多量子现象3349,比如拓扑边缘态35,39,46,48以及高阶拓扑角态36,40,43,47等.另一方面,非厄米系统作为量子开放系统的一种有效描述12,50,51,本身带来许多不同于
5、传统厄米系统的独特现象,比如复能谱的出现、宇称-时间反演对称(parity-time-reversalsymmetry,PT 对称)破缺5256、传统体边对应关系(bulk-boundarycorrespondence)的失效5770、非厄米动力学7173*广东省基础与应用基础研究基金(批准号:2019A1515111101)和华南师范大学科研启动基金资助的课题.通信作者.E-mail:通信作者.E-mail:2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-1等,已经成为
6、当下凝聚态领域中一个新兴的研究热点.鉴于经典电路对量子厄米拓扑系统的成功模拟,人们自然也希望用它模拟非厄米系统,以期更好地研究和理解新奇的非厄米物理现象.实验上,研究者们在利用经典电路模拟非厄米物理方面已经取得了很大进展32,比如成功模拟具有非互易跃迁的 Su-Schriefer-Heeger(SSH)模型41,观测到由增益/损耗(gain/loss)诱导的非厄米拓扑边缘态74等.本文将聚焦于经典电路对非厄米格点模型的模拟,对当前的实验进展进行综述,为相关研究提供参考,以推动该领域进一步发展.本文的剩余部分大致安排如下:第 2 节简要介绍非厄米物理中的一些数学知识和新奇现象;第 3 节介绍经典
7、电路模拟的理论基础;第 4 节概述当下经典电路模拟非厄米格点模型的实验进展;第 5 节进行总结.2非厄米物理简介非厄米物理的研究对象既可以是量子系统也可以是经典系统,其特征是系统的性质可以通过有效的非厄米矩阵进行描述12.系统的非厄米性通常来源于系统与环境之间的耦合,比如系统与环境之间的能量交换,对系统的测量等50,51.早期的研究主要关注于 PT 对称的非厄米系统52,53,因为这类系统在特定参数下具有类似厄米系统的纯实数能谱,以保证态的演化不发散或不消逝.同时,此类系统能谱的实复转变对应于本征态的 PT 对称破缺,其转变点即为异常点(excepti-onalpoint,EP)75.随后,人
8、们建立了非厄米系统的一般性理论非厄米量子力学76,给出了描述非厄米系统的基本数学范式.近些年,传统体边对应关系在非厄米拓扑系统的失效引起新一轮对非厄米物理研究的浪潮.在重建非厄米体边对应关系的过程中,人们逐渐发现一些非厄米系统所特有的现象,比如非厄米趋肤效应5759,7779,也建立起一些新的非厄米理论,比如非布洛赫理论59,8088、非厄米拓扑分类8992等.这些研究在理论上揭示出非厄米系统不同于厄米系统的独特性质12,86,92.近期随着非厄米领域的不断发展,人们开始将非厄米理论应用于对开放系统的研究中63,93101.本节根据理解相关实验的需要,简要介绍一些实验中所涉及的非厄米理论的基本
9、数学知识以及非厄米系统所特有的新奇现象.2.1 非厄米理论的数学基础2.1.1非厄米矩阵及双正交基H=H非厄米系统通常可以用非厄米矩阵 H(相当于传统量子力学中系统的哈密顿量)来描述,其非厄米性表现为 .对于可对角化的非厄米矩阵而言(不可对角化的情况随后介绍),其本征值分解如下102:S1HS=,(1)En|(r)nS1(l)n|其中,L 为对角矩阵,其对角项 为本征值(相当于传统量子力学中系统的本征能量),可以为任意复数;S 为相似矩阵,其中的列向量被称为 H 的右本征矢,记作 ,而 中的行向量被称为 H 的左本征矢,记作 .将(1)式写成本征方程的形式:H|(r)n=En|(r)n,H|(
10、l)n=En|(l)n,(2)表示非厄米系统的定态薛定谔方程.由相似矩阵的性质可知,左右本征矢之间满足双正交归一关系:(l)m|(r)n=mn,(3)从而具有如下完备性:n|(r)n(l)n|=1.(4)因此,左右矢可构成非厄米矩阵的双正交基(biorthogonalbasis)76.H=HS1=S|(l)n=|(r)nEn(r)m|(r)n=0(m=n)特别地,对于厄米矩阵()而言,其本征值分解中的相似矩阵变为酉矩阵(),即左右矢之间满足 的关系,因此双正交基退化为大家所熟知的正交基,相应的本征值 也变为实数.不同于厄米矩阵的本征矢,非厄米矩阵对应不同本征值的右本征矢通常不正交(左本征矢类似
11、),即 .2.1.2缺陷矩阵及 EP当非厄米矩阵不可对角化(被称为缺陷矩阵)时,无法对其进行本征值分解,取而代之的是更一般的约当分解(Jordandecomposition)12,103:S1HS=J.(5)其中,S 仍为相似矩阵,物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-2J=.0Js(E)0.(6)Js(E)Js(E)Js(E)(1,0,)Tps(E)=dimJs(E)1(E)是在相似变换下最接近完全对角化的块对角矩阵,其对角块 具有如下形式:对角元均为 E,上次对角元均为 1,其他为 0.具有这样形式的 J 被称为 H 的约当标准型(
12、Jordancanonicalform),其中 为第 s 个约当块(Jordanblock).每个约当块 都有且仅有一个本征矢 ,E 为相应的本征值.因此,当存在约当块的维度 时,H 即为缺陷矩阵.具有相同本征值 E 的约当块的个数 即为缺陷矩阵 H 在 E 处的简并度.特别地,当所有约当块的维度均为 1 时,约当分解则退化为本征值分解,即H 不再是缺陷矩阵.p(E)=(E)s=1ps(E)ps(E)如果调节系统参数,使描述非厄米系统的非厄米矩阵恰好为缺陷矩阵,此参数即为非厄米系统的 EP75.不同于厄米矩阵的简并点,在 EP 处不仅本征值重合,本征矢也会部分或全部合并(coal-esce),
13、即 H 的左右本征矢无法提供完备的双正交基,此时需要用广义本征矢(generalizedeigen-vector)来补足.通常大家定义在本征值 E 处的EP 阶数为 ,但此定义只适合对 EP 的粗糙描述,并不能反映在此系统参数下是否发生了本征矢合并以及合并的细节.只有给出本征值 E 对应的每一个约当块的维度信息 ,才能更好地表征 EP 的性质.为了度量系统参数离 EP 的远近程度,可以定义平均的相刚度(phaserigidity)104:r(z)=1NNn=1(l)n(z)|(r)n(z)(l)n(z)|(l)n(z)(r)n(z)|(r)n(z),(7)H(z)|(l/r)n(z)z0r(z
14、 z0)0r(z)=1其中,N 为可对角化矩阵 的维度,为其在参数 z 处的第 n 个左/右本征矢.当系统参数接近 EP 值 时,相刚度 ;对于厄米矩阵,左右本征矢互为复共轭,所以相刚度,即厄米矩阵不存在 EP.2.2 非厄米系统中的新奇现象2.2.1PT 对称破缺及赝厄米在传统的量子力学中,系统的哈密顿量为厄米算符(对应于厄米矩阵),其本征谱全为实数,反映系统能量为实数的物理事实.1998 年,Bender 和Boettcher52,53发现,PT对称的非厄米哈密顿量(对应于非厄米矩阵)同样可以具有全实能谱.这里的 P 和 T 分别表示空间反演和时间反演.当非厄米强度(比如增益/损耗强度)g
15、 比较弱时,系统的所有本征态均具有 PT对称性,从而具有全实的能谱,此时系统处于 PT对称相,任何量子态在此系统下均具有稳定的动力学.当非厄米强度很强时,系统的部分或全部本征态不再具有 PT 对称性,其能谱也出现复数,此时系统处于 PT 对称破缺相,量子态在其中的演化通常会发散或消逝.因此,在PT 对称的非厄米系统里,存在能谱由全实到复数的转变,被称为 PT 转变(PTtransition),如图 1所示.在转变点处部分或全部本征态会发生自发性 PT 对称破缺.此转变点即为前面所提到的 EP.PT 转变是厄米系统所没有的.PT对称相PT对称破缺相图1能量 E 的实部(实线)和虚部(虚线)随非厄
16、米强度g 的变化.点线处为 PT 转变点,其左侧为 PT 对称相(白色区域),右侧为 PT 对称破缺相(灰色区域)Fig.1.Thereal(solidlines)andimaginary(dashedlines)partsoftheenergyEversusthestrengthgofthenon-Her-miticity.ThedottedlineindicatesthePTtransitionpoint,totheleftsideofwhichisthePTsymmetricphase(whiteregion)and to the right side of which is the P
17、T-brokenphase(grayregion).H=H1其实,不只有 PT 对称的非厄米系统可以存在全实能谱.Mostafazadeh105在 2002 年的研究发现,每一个具有全实能谱的哈密顿量都是赝厄米的(pseudo-Hermitian),而 PT 对称只是赝厄米的一种特殊形式.如果存在一个厄米的可逆算符 h,使得系统的哈密顿量 H 满足 ,则称H 是赝厄米的12,105.如果 h 可以取单位算符,则H 退化为厄米的.赝厄米哈密顿量的能谱一定具备以下性质之一:1)全实能谱;2)能谱以复共轭的形式成对出现,且互为复共轭的能谱的简并度相同.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,
18、No.20(2023)200301200301-3=OO如果存在 h,它可以进一步写成 的形式,其中 O 为线性可逆算符,则赝厄米哈密顿量H 一定具有全实能谱12,106.这是非厄米哈密顿量具有全实能谱的充分必要条件.而 PT 对称仅能保证非厄米哈密顿量具有产生全实能谱的可能性,既不是其具有全实能谱的充分条件,也不是必要条件.2.2.2传统体边对应关系的失效及非厄米趋肤效应体边对应关系是被体能隙保护的厄米拓扑系统遵循的一个基本原则,它描述了系统的体态拓扑不变量与拓扑边缘态之间的关联.然而,此原则在某些非厄米系统中并不成立,表现为开边界条件下的能谱和体态与周期边界下有很大的不同57,58,如图
19、2(a)所示.这是因为此类非厄米系统对边界的选择表现出很强的敏感性,开边界与周期边界的同一系统在热力学极限下并不等价57,58,107.非厄米趋肤效应恰是这种边界敏感性的体现.它具体表现为非厄米系统的体态在开边界条件下呈指数型地聚集在某一边界,如图 2(c)所示.非厄米趋肤效应使具有体周期性的非厄米系统的体态丢失了布洛赫态的特性,与厄米系统中体态弥散在全域的情形完全不同.H(k)H()=reikr=1r 1基于对非厄米趋肤效应的观察,Yao 等60在一维非厄米 SSH 模型中建立起非布洛赫理论(non-Blochtheory),成功重塑了此非厄米系统中的体边对应关系,引起了后续的广泛研究808
20、8.在非布洛赫理论中,对于热力学极限下的非厄米系统,周期边界下的哈密顿量 被开边界下的 所取代.这里,原先定义在布里渊区上的晶格动量 k 被扩展为一个复变量 ,它在复平面的集合被称为广义布里渊区(generalizedBrillouinzone).广义布里渊区通常为一个闭合路径,如图 2(b)所示,其与原点的距离 r 反映系统在开边界条件下体态的趋肤性质:代表布洛赫态,即没有非厄米趋肤效应;和 分别对应趋向于不同边界的体趋肤态60,81.类比厄米情形108,可以用非布洛赫态在广义布里渊区中定义非布洛赫的拓扑不变量,从而重构非厄米拓扑系统的体边对应关系,即非布洛赫拓扑不变量与非厄米拓扑边缘态之间
21、的关联:拓扑不变量为 0 表示不存在拓扑边缘态的拓扑平庸相,非 0 表示存在拓扑边缘态的非厄米拓扑相.例如,对于具有手征对称性的一维非厄米系统,其非布洛赫缠绕数可定义为59w=12iIGBZtrq1()dq(),(8)q()H()其中,矩阵 由哈密顿量 的 Q-矩阵来定义:Q()=nN|u(r)n()u(l)n()|u(r)n()u(l)n()|=(0q()q1()0).(9)H(),=0H()|u(r,l)n()En(),En()N+N由于系统具有手征对称性 (G 为相应的手征算符),导致能谱关于零点对称,因此可以将 的本征态 (n 为能带指标)按本征能量 划分成两个子空间 和 .以手征算符
22、 G 的本征态为基,手征对称的Q-矩阵便可写成(9)式中第 2 行的反对角形式.110001(c)ReReIm|2(a)Im(b)|i|2图2(a)非厄米 SSH 模型59分别在开边界(粉色)和周期边界(灰色)条件下的能谱 E 在复平面的示意图;(b)与(a)中能谱相对应的布里渊区(灰色)和广义布里渊区(粉色)的示意图,其中 b 的定义见正文;(c)开边界条件下拓扑边缘态(红色)和趋肤态(灰色)的在实空间的几率分布 示意图,i 为格点标记|i|2Fig.2.(a)The sketch of the energy spectra in complexplaneforthenon-Hermitia
23、nSSHmodelinRef.59respective-lyunderopen(pink)andperiodic(gray)boundarycondi-tions;(b)thesketchoftheBrillouinzone(black)andthegeneralizedBrillouinzone(pink)correspondingtothespec-trawiththesamecolorsin(a),wherethedefinitionofbcanbereferredtointhemaintext;(c)thesketchofproba-bilitydistribution oftheto
24、pologicalendstate(red)andtheskinbulkstates(gray)inrealspaceunderopenboundaryconditions,whereiisthesiteindex.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-4又如,二维非厄米系统的非布洛赫陈数可定义为60,109C=12IGBZtrFxy()dxdy,(10)=x,y/其中(),Fxy()=xAy()yAx()iAx(),Ay(),(11)Anm()=iu(l)n()|u(r)m()(12)分别为非布洛赫贝里曲率(Berrycurvatur
25、e)和贝里联络(Berryconnection).以上用非布洛赫本征态定义的拓扑不变量,虽然能很好地反映非厄米系统在开边界条件下的拓扑相变,包括能隙的关闭以及拓扑边缘态的产生,但并没有体现出非厄米趋肤态本身的拓扑性质.借助于非厄米系统的能谱一般为复数的特性,可以定义能量缠绕数12,67:wC,Eb=12iICddzlndetH(z)Ebdz,(13)EbwBZ,EbwBZ,Eb=0其中,C 为积分回路,可以是布里渊区(BZ)或广义布里渊区(GBZ),也可以是其他周期参数空间;是能量复平面内的基准能量.对于一维单带非厄米系统,周期边界下的能量缠绕数 可以反映相应开边界下趋肤态的性质:表明存在非厄
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