江苏省南通市2023届高三下学期第二次调研测试数学模拟试题 附解析.docx
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1、南通2023二模数学模拟试题1. 已知P,Q为R的两个非空真子集,若,则下列结论正确的是()A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合关系、子集、全称量词与存在量词等概念,属于中档题【解答】解:, Q为 R的两个非空真子集,故,对于选项 A:由题意知 P是 Q的真子集,故,故不正确,对于选项 B:由是的真子集且,都不是空集知,故正确.对于选项 C:由是的真子集知,故不正确,对于选项 D:Q是的真子集,故,故不正确,故选:2. 已知则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式求解不等式的范围,是基础题.通过,推出,然后求解即
2、可.【解答】解:,故选:3. 三人各抛掷骰子一次,落地时向上的点数能组成等差数列的概率为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算,涉及排列组合、等差数列问题,属于中档题.根据题意,分析可得将一个骰子连续抛掷三次,每次都有6种情况,由分步计数原理可得共有种情况,进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况,可得符合条件的情况数目,由古典概型公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,将一个骰子连续抛掷三次,每次都有6种情况,则共有种情况,它落地时向上的点数能组成等差数列,分两种情况讨论:若落地时向上的点数若不同,则为1,2,3或1,3,5,或2,3
3、,4或2,4,6或3,4,5或4,5,共有6种可能,每种可能的点数顺序可以颠倒,即有种情况;即有种情况,若落地时向上的点数全相同,有6种情况,共有种情况,落地时向上的点数能组成等差数列的概率为故选4. 已知复数z的实部和虚部均为整数,则满足的复数z的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的概念与分类,复数的模及几何意义,属于中档题.【解答】解:设,则,所以法一:因为,所以,即当时,即,有两组满足条件当时,或,所以,但,时,不符合题意故选法二:如图,可转化为研究圆面内包括边界的整点个数.圆面包括的整点分别为,而不适合,则符合题意的整点共有4个.故选5.
4、 1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人将其称为“米勒问题”,是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面,悬杆抽象为线段或直线l上两点A,则上述问题可以转化为如下的数学模型:如图1,一条直线l垂直于一个平面,直线l有两点A,B位于平面的同侧,求平面上一点C,使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A,B两点的坐标分别为,设点C的坐标为,当最大时,()A. 2abB. C. D. ab【答案】B【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正切函数公式,利用基本不等式求最值,正切函数的单调性,属于中档题.首先根据条件得到
5、,再根据基本不等式可求得的最大值,根据正切函数的单调性,即可判定答案.【解答】解:由题意可知是锐角,且,而,所以,而,当且仅当,即时取等号,所以当时,此时最大,故选:6. 在三棱锥中,平面BCD,则已知三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球,考查线面垂直的性质,基本不等式的应用等知识,属于难题.设,求得的外接圆的半径为,结合图形求得三棱锥外接球半径,然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值,从而可得面积的最小值【解答】解:如图,设,K为的外心,O为三棱锥外接球的球心,则平面BCD,又平面BCD,所以,平面BCD,则,四边形
6、OKDA是直角梯形,设,由平面BCD,平面BCD,得,则,即,又,则,令,则,当且仅当,即时等号成立,所以三棱锥外接球表面积,故选7. 已知双曲线和椭圆的右焦点分别为,分别为上第一象限内不同于B的点,若,则四条直线的斜率之和为()A. 1B. 0C. D. 不确定值【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆方程、双曲线方程,直线与圆锥曲线的综合知识,考查逻辑推理、运算求解能力,考查数形结合、等价转化等数学思想,属于较难题依题意,先证明O、P、Q三点共线,是解题的关键,又,且,利用相似比可得,进一步得到,再利用点在曲线上代入方程得出相应等式,利用O、P、Q三点共线得,最后利用斜率公式代入得【解答】解
7、:设O为原点,则,而,得,于是O、P、Q三点共线,因为,所以,且,得,设、,点P在双曲线的上,有,则设直线的斜率分别是,所以 又由点Q在椭圆上,有同理可得 、P、Q三点共线,由、得8. 【答案】C【解析】略9. 下列命题中正确是()A. 中位数就是第50百分位数B. 已知随机变量X,若,则C. 已知随机变量,且函数为偶函数,则D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数172,方差为120,女生样本平均数165,方差为120,则总体样本方差为【答案】ACD【解析】【分析】本题考查百分位数、二项分布反差,正态分布,样本方差,属于中档题.【解答】中位数就
8、是第50百分位数,选项A正确;对选项B,X,则,故B错误;对选项C,函数为偶函数,则,区间与关于对称,故,选项C正确;对选项D,分层抽样的平均数,按分成抽样样本方差的计算公式答案选: ACD10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,始于1551年明代嘉靖年间,明末已成为贡品人朝,产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外经历代艺人刻苦钻研、精工创制,荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长,偏称游人携袖里,不劳侍女执花傍;宫罗旧赐休相妒,还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇
9、,其平面图为图2的扇形COD,其中,动点P在上含端点,连结OP交扇形OAB的弧于点Q,且,则下列说法正确的是()A. 若,则B. 若,则C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了三角函数与向量的综合建立平面直角坐标系,表示出相关点的坐标,设,可得,由,结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标,利用数量积的运算律,结合三角函数的性质,可判断C,【解答】解:如图,作,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系,则,设,则,由可得,且,若,则,解得,负值舍去,故,A正确;若,则,故B正确;由于,故,故,故C错误;由于,故,而,故,故D正确,故选11. 在长方体中,则下列命题为真命题
10、的是()A. 若直线与直线CD所成的角为,则B. 若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等,且l与面交于点M,则C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为,则D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为,则【答案】ABC【解析】【分析】本题考查异面直线所成角及线面夹角以及二面角求解,属于较难题.A根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角即可;B构建空间直角坐标系,根据线线角相等,结合空间向量夹角的坐标表示求,即可求M坐标,进而确定线段长;C、D将长方体补为以4为棱长的正方体,根据描述找到对应的直线 m,平面,结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.【解答】解:如下图
11、,直线与直线CD所成角,即为直线与直线AB所成角,则,正确;构建如下图示的坐标系,过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等,与面交于且x,又,则,故,则,正确.如下图,过A的直线m与长方体所有面所成的角都为,则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM,故,正确;如下图,过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为,只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行,如平面EDF,故,则,错误.故选12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、,切点为、不重合,设直线、分别与y轴交于点A、B,则下列结论正确的是()A. 、两点的纵坐标之积为定值B. 直线的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D
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