《正切函数的性质与图象》示范公开课教学设计【高中数学人教】.docx
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1、正切函数的性质与图象教学设计 教学目标1经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质,然后根据性质与定义画图,再依据图象研究其它性质的过程,发展逻辑推理素养2初步理解和掌握正切函数的图象与性质,并通过初步应用正切函数的性质,发展数学运算素养 教学重难点教学重点:正切函数的性质与图象,研究函数图象与性质的一般思路和方法教学难点:正切函数图象 课前准备Geogebra软件、PPT课件利用Geogebra软件呈现作正切函数图象的过程 教学过程(一)整体感知引导语:前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质,接下来我们研究正切函数1研究思路问题1:(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你认
2、为应如何研究正切函数的图象与性质?(2)你能用不同的方法研究正切函数吗?预设的师生活动:师生交流,整理出可能的研究思路预设答案:可以有两种思路思路1,按照正余弦函数图象与性质的研究思路,先描点画图,得到图象,根据图象观察获得性质,再证明思路2,也可以换一种研究思路,即先从数的角度出发,利用函数解析式分析其性质,然后再根据性质画图,之后再观察图象得到更多的性质追问:我们选择思路2进行研究结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验,你觉得应该先研究哪个性质?预设的答案:先研究周期性,再研究奇偶性设计意图:规划思路,整体把握,有序研究,在“森林”里研究“树木”(二)新知探究2周期性和奇偶性问题2:类
3、比正弦函数周期得出过程,判断正切函数是周期函数吗?如何求正切函数的周期?预设的师生活动:先让学生独立思考,然后交流预设答案:由诱导公式tan(x)tan x,xR,且xk,kZ根据周期函数的定义及周期的定义可知:正切函数是周期函数,并且周期是问题3:你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗?请你试一试预设的师生活动:学生可以独立完成,之后互相核对、规范过程预设答案:由诱导公式tan(x)tan x,xR,且xk,kZ可知:正切函数是奇函数问题4:你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助?据此确定的研究方案是什么?可以类比正弦函数性质的研究进行思考预设的师生活动:学生可以
4、独立完成,交流之后进一步确定后续的研究路径预设答案:根据正切函数的周期性,只要研究正切函数在一个周期,比如区间(,)内的图象与性质即可再根据正切函数的奇偶性,只要研究正切函数在半个周期,比如区间0,)内的图象与性质即可因此接下来的研究方案是:先考察函数ytan x,x0,)的图象与性质,然后再根据奇偶性、周期性进行拓展3正切函数的图象问题5:如何画出函数ytan x,x0,)的图象呢?图1追问1:画函数图象的基本方法是描点法,画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义,用几何描点法画图的那么正切函数定义的几何意义是什么?画图解释预设的师生活动:先让学生画图,根据定义写出tan x,并给出几何解
5、释预设答案:如图1所示,设x0,),在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0,y0)过点B作x轴的垂线,垂足为M则tan x追问2:式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义,但利用式显然是不方便画图的回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点?据此你将如何优化式,以方便描出正切函数图象上的点呢?预设答案:正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标,是一条线段,而正切函数的几何意义是两条线段的长度比,因此应该设法优化这个比,使它在数值上也可以表示为一条线段,即让分母中的线段数值上为1于是得到:图2如图2,过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T,则tan xAT由式可知,
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