《空间中的平面与空间向量》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.docx
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1、空间中的平面与空间向量教学设计 教材分析本节主要学习空间中的平面与空间向量,在向量坐标化的基础上,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,从而实现运用空间向量解决立体几何问题,为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间 教学目标课程目标学科素养A 理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量B会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系C理解并会用三垂线定理及其逆定理1数学抽象:空间向量运算与垂直平行判断 2逻辑推理:三垂线定理及其逆定理3直观想象:线面、面面位置关系的向量表达4数学运算:求平面的法向
2、量 教学重难点1教学重点:会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系2教学难点:用向量运算解决空间中线面、面面的垂直、平行的判定 课前准备多媒体 教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行这是为什么呢?二、探究新知问题1:我们已经知道空间中的直线,根据它的方向向量和一个点可以描述这条直线的位置,那么,对于空间中的平面
3、,能否引进类似的向量来描述其位置? 1平面的法向量 如果是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直,则称n为平面的一个法向量此时,也称n与平面垂直,记作n思考1:一个平面的法向量是否唯一?提示:不唯一,一个平面的法向量有无数多个2平面的法向量的求法在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na=0,nb=0;1点A(
4、a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A(bc,ac,ab) B(ac,ab,bc)C(bc,ab,ac) D(ab,ac,bc)解析:设法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,ACn=0,则ax+by=0,ax+cz=0,令x=bc,则n=(bc,ac,ab)答案:A 问题2:如果 v是直线l的一个方向向量, n是平面的一个法向量,分别探讨nv与nv时,直线l与平面的关系;如果n1是平面1的一个法向量, n2是平面2的一个法向量,分别探讨论n1n2与n1n2时,平面1与平面2的关系3用空间向量处理平行或垂直关系(1)如果v是直线l的一个方向向量,n
5、是平面的一个法向量,则nvl;nvl,或l(2)如果n1是平面1的一个法向量,n2是平面2的一个法向量,则n1n212;n1n212,或1与2重合点睛:解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行2判断(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行()(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直()(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;
6、两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直()答案:(1)(2)(3)问题3:已知AB是平面的一条斜线且B为斜足(即AB不垂直于且AB=B),设其中A,是A在平面内的射影,而l是平面内的一条直线,如图所示,判断下列命题是否成立,并用空间向量证明:(1)当lA,B时, lAB;(2)当lAB时, lA,B证明:设vl,则由AA, ,且l,可知AA, v即AA, v=0,如果,lA,B,则 v A,B, v A,B=0,又因为AB =AA,+ A,B=A,A+ A,B所以AB v=(A,A+ A,B) v=A,A v+ A,B v=0因此 lAB 如果lAB,则v AB, v AB=0,又因为A,B
7、=A,A+ AB, 所以A,B v= (A,A+ AB) v=A,A v + ABv=0 因此lA,B4三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直思考:三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?提示:联系:都是一面四线,三种垂直关系区别:从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直异面直线垂直”,而逆定理恰好相反例1 如图,已知空间直角坐标系中的三棱锥
8、OABC中O0,0,0,Aa,0,0,B0,b,0,C0,0,c其中abc0 ,求平面ABC的一个法向量解:由已知可得CE=OBOA=0,b,0 a,0,0=a,b,0AC=OCOA=0,0,c a,0,0=a,0,C设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则nAB=ax+by=0nAC=ax+cy=0将x看成常数,可解得y=abx , z=acx 令x=bc,则y=ac,z=ab,因此n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量 通过此类例题的解答,在求平面的法向量时要注意:(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个
9、为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0跟踪训练1 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点AB=AP=1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量解:因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系则A(0,0,0),D(0,3,0),E0,32,12,B(1,0,0),C(1,3,0)于是AE=0,32,12,AC=(1,3,0)
10、设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量则nAC=0,nAE=0,即x+3y=0,32y+12z=0,所以x=3y,z=3y,令y=1,则x=z=3所以平面ACE的一个法向量为n=(3,1,3)延伸探究 本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,3,0),所以PC=(1,3,1),即直线PC的一个方向向量设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)因为D(0,3,0),所以PD=(0,3,1)由nPC=0,nPD=0,即x+3yz=0,3yz=0,所以x=0,z=3y,令y=1,则z=3所以平面PCD的一个法向量为
11、(0,1,3)例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2)所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量则n1DA,n1AE即n1DA=2x1=0,n1AE=2y1+z1=0,得x1=0,z1=2y1令z1=2,则y1=1所以n1=(0,1,2)因
12、为FC1n1=2+2=0,所以FC1n1又因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE(2)C1B1=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2FC1,n2C1B1得n2FC1=2y2+z2=0,n2C1B1=2x2=0,解得x2=0,z2=2y2令z2=2,得y2=1,所以n2=(0,1,2)因为n1=n2,即n1n2,所以平面ADE平面B1C1F 证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;证明直线的方向向量与平面的
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