《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.docx
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1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)教学设计 教学目标1经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式的意义,发展学生逻辑推理素养2掌握公式,及其变形形式,发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重点:经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式的意义教学难点:把握角度关系;二倍角余弦公式的应用 课前准备PPT课件资源引用:【知识点解析】二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识点解析】cos2的变形【知识点解析】和(差)角公式的逻辑联系图 教学过程(一)整体感知引导语:以公式C(-)为基础,我们已经得到六个和(差)角公式,下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式(二)新知探究问题1:你
2、能利用推导出的公式吗?你能用不同的方法推出这些公式吗?预设的师生活动:学生独立进行推导,教师巡视并收集学生的不同证法,或请学生将不同的证法列举在黑板上预设答案:这里不同的证法主要体现在两个方面:一是推导的依据具有多样性,例如可以将中替换为推得,也可以由中的替换为,而推导公式时,可以从出发,也可以由合作推出;二是推导的顺序具有多样性,学生可以自行设计三个二倍角公式的证明顺序,由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公式,因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异三个公式分别简记为,资源名称:【知识点解析】二倍角的正弦、余弦、正切公式使用说明:本资源展现“二倍角的正弦、余弦、正切公式”,辅助教
3、师教学,加深学生对于知识的理解和掌握适合教师课堂进行展示注:此图片为“知识卡片”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用设计意图:给学生一定的自由度,由学生自己制定计划,并完成二倍角公式的证明追问:如果要求二倍角的余弦公式()中仅含的正弦或仅含余弦,那么你能得到怎样的结论?预设的师生活动:学生独立进行推导预设答案:,资源名称:【知识点解析】cos2的变形使用说明:本资源展现“cos2的变形”,辅助教师教学,加深学生对于知识的理解和掌握适合教师课堂进行展示注:此图片为“知识卡片”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用设计意图:引导学生发现公式的两种变形形式,为下一课时半角公式做好铺垫说明:以上五个公式
4、都叫做二倍角公式,或倍角公式倍角公式给出了任意角的三角函数与的三角函数之间的关系这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去问题2:从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现,这些公式之间存在紧密的逻辑联系,你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗?资源名称:【知识点解析】和(差)角公式的逻辑联系图使用说明:本资源展现“和(差)角公式的逻辑联系图”,辅助教师教学,加深学生对于知识的理解和掌握适合教师课堂进行展示注:此图片为“知识卡片”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用预设的师生活动:学生进行归纳整理,作出结构图,然后小组交流,最后教师挑选一到两组学生面向全
5、班交流展示预设的答案:以上关系仅供参考,其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一,也不必完全画出,但所有公式中,起点一定是,其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头设计意图:培养学生总结反思的学习习惯,促使学生对3个课时推导出的所有公式进行简单回顾梳理,并感悟公式作为所有公式推导的起源具有特殊意义例1 (1)已知sin 2=513,42,求sin 4,cos 4,tan 4的值(2)已知锐角满足,求的值(3)在ABC中,cos A=45,tan B=2,求tan(2A+2B)的值追问1:在(1)中,已知条件给出了的正弦值我们应该把看作一个整体还是将它看作的二倍?待求的是的三角函数值,二者之间有什
6、么关系?预设答案:把看作一个整体待求角是已知角的二倍设计意图:向学生渗透分析问题的常规方法,即分析化简已知条件,明确待求目标,寻找办法拉近二者之间的距离顺带指出,“倍”是描述两个数量之间关系的,2是的二倍,4是2的二倍,2是4的二倍,这里蕴含着换元思想追问2:在(2)中,注意题目中的已知角与待求角,你能制定多少种不同的方案解出此问题?哪一种方法最便捷?预设答案:方案一,直接把展开,结合同角三角关系解出的正弦余弦值,再用倍角公式与差角公式计算;方案二,视为一个整体,借助同角关系解出,再由关系算出的正弦、余弦值,下同方案一;方案三,注意到,视为一个整体,借助同角关系解出,再用二倍角公式直接求解设计
7、意图:引导学生分析题目的一般方法,先确认条件及目标,再制定解题方案,最后经过可行性分析,选择最优方案实施同时再次突显出分析角差异及换元思想在三角恒等变形中的重要性追问3:在(3)中,2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系?你能想到几种不同的求解顺序?预设答案:可以看作的二倍角的和,也可以看作的和的二倍角有两种求解顺序,即先计算二倍角再计算和角,或先计算和角,再计算二倍角设计意图:(3)题具有一定的综合性,也是和角公式与倍角公式的综合应用问题由于对2A+2B与A,B的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路不过,它们都是对倍角、和角关系的联合运用,本质上没有区别此外,在三角形的背景下研究问题,常常
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