《数列在日常经济生活中的应用 》公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】.docx
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1、数列在日常经济生活中的应用教学设计 教材分析等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型,在科学技术和日常生活中有着广泛的应用。例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险 、资产折旧等问题都与其相关。著名的马尔萨斯人口论,把粮食增长喻为等差数列,而把人口增长喻为等比数列。这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识。 教学目标【知识与能力目标】通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题,体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用。【过程与方法目标】通过具体问题情境,主动思考,互相交流,共同讨论,总结概括,发现并建立等差数列、等比数列数学模型,会利用
2、它解决一些存款问题,感受等差数列、等比数列的广泛应用。【情感态度价值观目标】 教学重难点通过本节学习,让学生感受生活中处处有数学,从而激发学习的积极性,提高数学学习的兴趣和信心。【教学重点】建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型,并用于解决实际问题。【教学难点】 课前准备在实际问题情境中,发现并建立以上三个模型。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、 导入部分一位中国老太太与一位美国老太太相遇。美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款;而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足
3、。教师进一步指出:我国现代都市人的消费观念正在变迁,花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生,许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活,贷款购物,分期付款已深入我们的生活。但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务,我们究竟选择什么样的方式好呢?二、研探新知,建构概念教材整理数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32P34例3以上部分,完成下列问题。1三种常见的应用模型(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。(2)定期自动转存:银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存,例如,储户某日存入一笔存期为1年的
4、存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和。(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式,即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清。2常用公式(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和SP(1r)n(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值yN(1r)x.(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为SP(1nr)判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)在银行取款时,取到的本息是指存款得到的利息 ()(2)定期自动转存模型是等差数列
5、 ()(3)在分期付款中,各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价 ()【解析】(1)本息是指存入的本金与本金生成的利息之和。(2)定期自动转存模型是等比数列。(3)不相等,在分期付款中,各期所付款额及各期所付款所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。【答案】(1)(2)(3)三、质疑答辩,发展思维 例1 零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取。规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利
6、和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2 000元,那么每月初应存入的金额是多少?活动:这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型。这里的“零存整取”是每月存入相同的x元,到期所获得的利息组成一个等差数列。解:(1)根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为xrn;第2个月存入的x元,到期利息为xr(n1)元第n个月存入的x元,到期利息为xr元,不难看出,这是一个等差数列求和的问题。各月利息之和为xr(12n)nn+1r2x (元),而本金为nx元,这样 就得到本利和公
7、式ynxnn+1r2x (元),即ynnn+1r2x (元)(nN) (2)每月存入500元,月利率为0.3%,根据式,本利和y500(36363720.3%)18 999(元)。(3)依题意,在式中,y2 000,r0.3%,n 12xynnn+1r2200012+12(12+1)0.3%2163.48(元)答:每月应存入163.48元。点评:通过本例的数学建模,学生应了解和经历解决实际问题的全过程,即实际情境提出问题数学模型数学结果检验问题结果。体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力,并学会通过查询资料等手段获取信息。变式训练1: 某同学依教育储
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