《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计.doc
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1、双曲线及其标准方程教学设计第1课时 教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后,学习的又一类圆锥曲线知识,也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一,它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用,也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容双曲线的定义、标准方程与椭圆类似,教科书的处理方法也相仿,也就是说,本小节在数学思想和方法上没有新内容,因此,这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点,特别是它们的不同点课时分配本节内容分两课时完成第1课时讲解双曲线的定义,要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方
2、程;第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题 教学目标1使学生掌握双曲线的定义,理解双曲线标准方程的推导过程,能根据条件确定双曲线的标准方程2在与椭圆的类比中,掌握双曲线的标准方程的推导方法,增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力 教学重难点教学重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程教学难点:双曲线标准方程的推导 教学过程复习引入1椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程(1)焦点在x轴1,(ab0);(2)焦点在
3、y轴1,(ab0)3a、b、c之间有何种关系?a2c2b2探究新知探究:如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化?用几何画板演示拉链的轨迹:(A)(B)活动成果:以上两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支下面请同学们思考以下问题:设问:定点与动点不在同一平面内,能否得到双曲线?两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系?这个常数是否会大于或等于两定点间的距离?(几何画板演示当常数等于|F1F2|及常数大于|F1F2|时的点的轨迹,帮助学生理解)请学生回答:1不能指出必须“在平面内”2到两定点的距离的差的绝对值相等,否则只表示双曲线的一支,且到两定点的
4、距离的差的绝对值为一个常数,即|MF1|MF2|2a3应小于两定点间距离且大于零当常数等于|F1F2|时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数大于|F1F2|时,无轨迹活动设计:小组讨论,实验演示,通过提出问题,让学生讨论问题,并尝试解决问题让学生了解双曲线的前提条件,并培养学生的全面思考能力感受曲线,解读演示得到的图形是双曲线(一部分)提出问题:类比椭圆的定义,给出双曲线的定义活动设计:学生先独立思考,教师加以引导,与椭圆有一个类比,允许学生自愿合作、讨论、交流学情预测:学生的回答可能不全面、不准确,我们可以用几何画板演示学生的回答,让他们发现问题,然后不断补充、纠正,趋于完善活动成果
5、:师生共同概括出双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(在归纳定义时强调定义要满足三个条件:在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导,选择适当的坐标系,建立双曲线方程为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备提出问题:求椭圆方程的步骤是什么?活动结果:建系、设点、列式、化简(学生回答,教师板书)提出问题:和椭圆类似,我们应如何建立坐标系,使求出的方程更为简单?活动设计:学生先独立思考,类比椭圆找到两种简
6、单的建系方法,并找学生到黑板板演,教师巡视指导其他学生,必要时给板演的学生给予指导(推导过程以焦点在x轴上为例)学生板演,先请学生评讲,教师再评讲以线段F1F2的中点为原点,直线F1F2为x轴,建立直角坐标系设P(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c0),那么,焦点F1,F2的坐标分别是(c,0),(c,0),又设点P与F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a则有:2a,移项,得2a两边平方,得|ax|式再两边平方并整理得(c2a2)x2a2 y2a2(c2a2),()根据双曲线的定义ca,c2a20设b2c2a2,代入上式,得1这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦
7、点在x轴上,焦点坐标是F1(c,0)、F2(c,0)学情预测:一般情况下,得到方程()后,学生会类比椭圆设b2c2a2,但要注意证明的严密性,帮助学生在证明过程中完善步骤提出问题:设此方案中的双曲线与x轴的交点分别为A1,A2,同学们都知道a,c的含义,你能从图形中找到长度分别等于a,c的线段吗?学情预测:估计得出c|OF1|OF2|,a|OA1|OA2|应当不会有问题提出问题:你能在y轴上找一点B,使得|OB|b吗?学情预测:学生会发现在y轴的正负半轴上各有一个这样的点,我们分别设为B1,B2,则|B2A1|B2A2|c|B1A1|B1A2|这样,因为B2OA2为直角三角形,且|B2A2|c
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