MOOC 泛函分析—空间理论-西北大学 中国大学慕课答案.docx
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1、 MOOC 泛函分析空间理论-西北大学 中国大学慕课答案单元测验(一)1、问题:如果一个非空集合上可定义一个距离,则以下说法正确的是( ).选项:A、距离是唯一的B、可以定义有限个距离C、可以无限多个距离D、其它三项都不对正确答案:【可以无限多个距离】2、问题:在一个非空集合上( ) 可以定义距离.选项:A、一定B、不一定C、与集合的性质有关D、其它三项都不对正确答案:【一定】3、问题:N 维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于( ).选项:A、逐点收敛B、几乎处处收敛C、按坐标收敛D、一致收敛正确答案:【按坐标收敛】4、问题:连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的( ).选项:A、按坐标收
2、敛B、一致收敛C、逐点收敛D、几乎处处收敛正确答案:【一致收敛】5、问题:有界数列空间中点列的按距离收敛是( ).选项:A、按坐标收敛B、一致收敛 C、逐点收敛D、其余三项都不对正确答案:【其余三项都不对】6、问题:离散距离空间中点列的按距离收敛是( ).选项:A、按坐标收敛B、一致收敛C、逐点收敛D、其余三项都不对正确答案:【其余三项都不对】7、问题:一个非空集合上的距离满足( ).选项:A、非负性B、对称性C、正齐次性D、三角不等式正确答案:【非负性#对称性#三角不等式】8、问题:关于距离空间中点列的收敛性,以下说法正确的是( ).选项:A、收敛列的极限是唯一的B、收敛列的极限一定属于该距
3、离空间C、有界列一定是收敛列D、收敛列的子列一定收敛正确答案:【收敛列的极限是唯一的#收敛列的极限一定属于该距离空间#收敛列的子列一定收敛】9、问题:距离空间中的收敛点列满足( ).选项:A、其极限未必唯一B、其极限是唯一的C、其任一子列必收敛D、存在不收敛的子列正确答案:【其极限是唯一的#其任一子列必收敛】10、问题:设 R 是实数集,定义 d(x,y)=1+|x-y|,则 d 是 R 上的距离.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】 11、问题:任一非空集合上都可以定义距离,使之成为距离空间.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】12、问题:设 C0,1是0,1上的连续函数全体,定义则
4、 d是 C0,1上的一个距离.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验(二)1、问题:开集恰好由该集合的所有( )构成.选项:A、外点B、内点C、聚点D、接触点正确答案:【内点】2、问题:闭集恰好由该集合的所有( )构成.选项:A、内点B、外点C、接触点D、聚点正确答案:【接触点】3、问题:设 E 和 F 是距离空间中的点集,则以下关于“E 在 F 中稠密”的表述,正确的是( ).选项:A、 B、C、D、正确答案:【】4、问题:全体有理数在( )中是稠密的.选项:A、实数空间B、连续函数空间C、有界数列空间D、离散的距离空间正确答案:【实数空间】5、问题:以下选项中,不可分的距离空间为
5、( ).选项:A、实数空间B、连续函数空间C、离散的距离空间D、有界数列空间正确答案:【有界数列空间】6、问题:距离空间中的非空开集一定包含一个( ).选项:A、内点B、接触点C、开球D、闭球正确答案:【内点#接触点#开球#闭球】7、问题:以下说法正确的是( ).选项:A、开球是开集B、开集是开球C、开球的补集是闭集D、开球的补集是闭球正确答案:【开球是开集#开球的补集是闭集】8、问题:在距离空间中,以下说法正确的是( ).选项:A、闭球的内部是闭集B、开球的闭包是闭集 C、开球的内部是开集D、开球的补集是闭集正确答案:【开球的闭包是闭集#开球的内部是开集#开球的补集是闭集】9、问题:关于内点
6、与接触点,以下说法正确的是( ).选项:A、接触点一定是内点B、内点一定是接触点C、接触点可能是内点D、内点未必是接触点正确答案:【内点一定是接触点#接触点可能是内点】10、问题:在距离空间中,以下说法正确的是( ).选项:A、任意多个开集的交集是开集B、任意多个开集的并集是开集C、任意多个闭集的交集是闭集D、任意多个闭集的并集是闭集正确答案:【任意多个开集的并集是开集#任意多个闭集的交集是闭集】11、问题:在实数空间 R 中,令 Q 为有理数全体. 以下选项中,与 “Q 在 R 中稠密” 等价的是( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【#】12、问题:设 E 和 F 是距离空间中的点集,则
7、以下关于“E 在 F 中稠密”的表述,正确的是( ).选项:A、B、C、D、E、 F、正确答案:【#】13、问题:设 E 与 F 是距离空间中的点集. 以下命题中,相互等价的是( ).选项:A、E 在 F 中稠密B、F 中每个点都是 E 的接触点C、E 与 F 的交集可能是空集D、F 中每个点都是 E 中某点列的极限正确答案:【E 在 F 中稠密#F 中每个点都是 E 的接触点#F 中每个点都是 E 中某点列的极限】14、问题:以下选项中,一定具有可分性的距离空间是( ).选项:A、实数空间B、有理数空间C、连续函数空间D、离散的距离空间正确答案:【实数空间#有理数空间#连续函数空间】15、问
8、题:在可分的距离空间中,必包含( ).选项:A、可数子集B、不可数子集C、稠密子集D、有限子集正确答案:【可数子集#稠密子集#有限子集】16、问题:设 T 是从距离空间 X 到距离空间 Y 的映射,则以下命题中与“T 是连续映射”等价的是( ).选项:A、X 中任何开集的像是 Y 中的开集B、Y 中任何开集的原像是 X 中的开集C、X 中任何闭集的像是 Y 中的闭集D、Y 中任何闭集的原像是 X 中的闭集正确答案:【Y 中任何开集的原像是 X 中的开集#Y 中任何闭集的原像是 X 中的闭集】17、问题:距离空间中的任一子集,其闭包未必是闭集.选项:A、正确 B、错误正确答案:【错误】18、问题
9、:距离空间中的任一子集,其内部一定是开集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】19、问题:任意多个闭集的并集是闭集.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】20、问题:任意有限个开集的交集是开集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】21、问题:离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】22、问题:非空开集一定是开球.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】23、问题:在实数空间中,全体有理数在全体无理数中稠密.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】24、问题:有界数列空间是可分的距离空间.选项:A、正确 B、错误正确答案:【错误】25、问题:0
10、,1上的全体有理系数多项式在连续函数空间 C0,1中是稠密的.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】26、问题:在不可数集 X 上定义离散距离 d,则距离空间(X,d)是不可分的.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】27、问题:定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】28、问题:有界数列空间的任何子空间都是不可分的.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】单元测验(三)1、问题:以下关于距离空间中 ”柯西列与收敛列“ 的表述,正确的是( ).选项:A、柯西列一定是收敛列B、有界列一定是柯西列C、收敛列一定是柯西列D、其他三项都不对正确答案:【收敛
11、列一定是柯西列】2、问题:以下实数空间的距离子空间中,具有完备性的是( ).选项:A、B、 C、D、正确答案:【】3、问题:设距离空间 X 是距离空间 E 的完备化空间,在等距同构的意义下,以下说法正确的是( ).选项:A、E 是 X 的开子空间B、E 是 X 的闭子空间C、E 是 X 的稠子空间D、E 是 X 的真子空间正确答案:【E 是 X 的稠子空间】4、问题:在距离空间中,压缩映射一定是( ).选项:A、单射B、满射C、等距映射D、连续映射正确答案:【连续映射】5、问题:在完备的距离空间中,以下说法正确的是( ).选项:A、收敛列必为柯西列B、柯西列必为收敛列C、闭子集一定是完备的子空
12、间D、开子集一定不是完备的子空间正确答案:【收敛列必为柯西列#柯西列必为收敛列#闭子集一定是完备的子空间#开子集一定不是完备的子空间】6、问题:在连续函数空间中,以下说法正确的是( ).选项:A、柯西列未必是收敛列B、收敛列未必是柯西列C、柯西列一定是收敛列D、收敛列一定是柯西列正确答案:【柯西列一定是收敛列#收敛列一定是柯西列】7、问题:在以下选项中,具有完备性的距离空间是( ).选项:A、实数空间 B、N 维欧氏空间C、连续函数空间D、有界数列空间E、离散的距离空间正确答案:【实数空间#N 维欧氏空间#连续函数空间#有界数列空间#离散的距离空间】8、问题:以下实数空间的子空间中,不完备的是
13、( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【 # #】9、问题:在距离空间中,等距映射一定是( ).选项:A、单射B、满射C、双射D、连续映射正确答案:【单射#连续映射】10、问题:设 X 是距离空间,T 是 X 到 X 的映射. 压缩映射定理成立的条件是().选项:A、X 是完备的B、X 是可分的C、T 是压缩映射D、T 是连续映射正确答案:【X 是完备的#T 是压缩映射】11、问题:完备的距离空间一定是可分的.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题:在全体有理数 Q 上定义离散距离 d,则(Q,d)是不完备的距离空间.选项: A、正确B、错误正确答案:【错误】13、问题:在等距同
14、构的意义下,任何距离空间都存在唯一的完备化空间.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】14、问题:在距离空间中,闭子空间与完备子空间是等价的.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】单元测验(四)1、问题:在实数空间中,以下选项中不是完全有界集的有( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【】2、问题:在距离空间中,以下关于列紧集性质的描述,不正确的是( ).选项:A、列紧集的闭包是列紧集B、列紧集的内部是列紧集C、列紧集的补集是列紧集D、列紧集中的柯西列一定收敛正确答案:【列紧集的补集是列紧集】3、问题:在离散的距离空间中,以下选项中是列紧集的是( ).选项:A、有界集B、单点集C、完全有界
15、集 D、可数点集正确答案:【单点集】4、问题:在实数空间中,以下选项中是紧集的有( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【】5、问题:设 T 是从距离空间 X 到距离空间 Y 的连续映射,A 是 X 中的列紧集,则以下选项中不正确的是( ).选项:A、T(A)是列紧集B、T(A)是有界集C、T(A)是紧集D、T(A)是完全有界集正确答案:【T(A)是紧集】6、问题:在实数空间中,以下选项中是列紧集的有( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【#】7、问题:在距离空间中,以下关于列紧集性质的描述,正确的是( ).选项:A、单点集是列紧集B、有限点集是列紧集C、可列点集未必是列紧集D、不可列点集一
16、定不是列紧集正确答案:【单点集是列紧集#有限点集是列紧集#可列点集未必是列紧集】8、问题:在距离空间中,以下关于列紧集性质的描述,正确的是( ).选项: A、有限个列紧集的并集是列紧集B、有限个列紧集的(非空)交集是列紧集C、可数个列紧集的并集是列紧集D、可数个列紧集的(非空)交集是列紧集正确答案:【有限个列紧集的并集是列紧集#有限个列紧集的(非空)交集是列紧集#可数个列紧集的(非空)交集是列紧集】9、问题:在连续函数空间 Ca,b中,当子集 A 满足( )时,则 A 是列紧集.选项:A、一致有界B、等度连续C、一致连续D、等度有界正确答案:【一致有界#等度连续】10、问题:在距离空间中,以下
17、关于“完全有界集的性质”的描述,正确的是( ).选项:A、完全有界集是有界集B、完全有界集必可分C、完全有界集的子集是完全有界集D、有限个完全有界集的并集是完全有界集正确答案:【完全有界集是有界集#完全有界集必可分#完全有界集的子集是完全有界集#有限个完全有界集的并集是完全有界集】11、问题:在实数空间中,完全有界集未必是有界集.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题:在距离空间中,列紧集的非空子集一定是列紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】13、问题:完备的距离空间一定是列紧空间选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】 14、问题:在列紧的距离空间中,柯西列与收敛列是等
18、价的.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】15、问题:在离散的距离空间中,列紧集一定是紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】16、问题:在完备的距离空间中,完全有界集未必是列紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】17、问题:设 A 是距离空间 X 中的紧集,f 是 X 到 R 的连续函数. 则 f 是有界的,并可取到上、下确界.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】18、问题:在有界数列空间中,列紧集是完全有界集. 反之不成立.选项:A、正确B、错误正确答案:【错误】19、问题:在距离空间中,列紧的闭集就是紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】20、问题:在连续函
19、数空间中,列紧集的闭包是紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】 21、问题:距离空间之间的连续映射,把紧集映成列紧集.选项:A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验(五)1、问题:以下关于线性空间中相关概念的叙述,不正确的是( ).选项:A、子空间一定是子集B、子集 A 的线性包一定包含 AC、子空间 E 的线性包就是 ED、子集一定是子空间正确答案:【子集一定是子空间】2、问题:以下空间中,属于有限维赋范空间的是( ).选项:A、B、C、D、正确答案:【】3、问题:设 A 是线性空间 X 中,如果 A 中任何( )向量的线性组合都是线性无关的,则称 A 是线性无关的.选项:A、有限
20、个B、可数个C、不可数个D、两个正确答案:【有限个】4、问题:以下抽象空间中,既是距离空间,又是线性空间的是( ).选项:A、B、C、 D、正确答案:【#】5、问题:设 M 是线性空间 X 的子集,当 M 满足( )时,称 M 为 X 的 Hamel 基.选项:A、M 中任何有限个向量的线性组合都线性无关B、X 中任一向量都可以表示成 M 中有限个向量的线性组合C、M 是 X 中的线性相关集D、M 的线性包是 X 的子集正确答案:【M 中任何有限个向量的线性组合都线性无关#X 中任一向量都可以表示成 M 中有限个向量的线性组合】6、问题:设 A、B 是线性空间 X 的子空间,当它们满足( )时
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