1.3 反证法 课件1 (北师大选修2-2)50731.ppt
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1、 一、问题情境 小华睡觉前,地上是干的,早晨起来,看见地上全湿 了。小华对婷婷说:“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗? 假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的,这与 早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下雨是正确的。 小华的理由: 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 例:甲命题“在ABC中,如果ABc, BCa, CAb,且C90,那么ab c”是真命题(勾股定理) 乙命题“在ABC中,如果ABc, BCa ,CAb,且C90,那么abc”是真命 题吗? 假设abc,根据勾股定理的逆定 理,一定有C90,这与已知条C90矛盾 ,因此,假设abc是错误的,于是可知a bc这就说明
2、:命题“在ABC中,如果 ABc, BCa, CAb,且C90,那么a bc”是真命题 先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑 推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知 条件相矛盾,说明假设不成立,从而得到原结 论正确 这种证明方法叫做“反证法” 二、反证法的步骤 (1) 从命题的结论的否定面出发; (2) 根据正确的逻辑推理,推出矛盾(与已知矛 盾;与已知定义、公理、定理等矛盾;出现与临时 假设矛盾;在证明过程中出现自相矛盾等等)则否 定假设; (3)肯定原命题的结论是正确的。简记:否定结 论推出矛盾肯定结论,其中推出矛盾是关 键。 万事开头难,让我们走好第一步! 写出下列各结论的反面: (
3、1)a/b; (2)a0; (3)b是正数; (4)ab a180, 这与三角形内角和定理矛盾, A=B=90这个假设不成立. (2)由90B180, 90C180, 则 A+B+C180,这与三角形内角和定理矛盾 .两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角. 说明:本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况,这 时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成 立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法 的进一步理解. 大家议一议! 通过本节内容的学习,你 们觉得哪些题型宜用反证法 ? 我来告诉你(经验之谈) (1)以否定性判断作为结论的命题; (2)以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述 的命题; (3)关于“唯一性”结论的命题; (4)一些不等量命题的证明; (5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明) 注意:用反证法证题时,应注意的事项 : (1)周密考察原命题结论的否定事项,防止 否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题 的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。
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