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解线性代数方程组的迭代法.ppt
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1、第四章解线性代数方程组的迭代法 4.1向量和矩阵序列的极限 4.3几种常用的迭代法4.2迭代法的基本理论2022/6/2614.向量和矩阵序列的极限一.极限的概念Remark:上面的收敛性实际上和范数的选择无关。(范数的等价性) 1.向量序列收敛 则称 收敛于 。记为:设是中的向量序列,若有向量,使定义:2022/6/262 设 是 中的矩阵序列, 若有 ,使 ,则称 收敛于 ,记为 .矩阵序列收敛Remark:上面的收敛性也和范数的选择无关。定义:2022/6/263二.序列收敛的等价条件 设 , 则 的充要条件是:1.向量序列收敛的等价定理2022/6/264证明:充分性 由范数的等价性,
2、即序列收敛的等价条件(续)2022/6/265必要性由等价性知:有即即序列收敛的等价条件(续)证毕2022/6/2662.矩阵序列收敛的等价定理即故 由矩阵范数的等价性,有即证明:充分性,则 , 设 , 则 的充要条件 是序列收敛的等价条件(续)2022/6/267即也即故 .向量序列、矩阵序列的收敛性等价于按分量、按元 素的收敛性。 .对向量序列和矩阵序列,按范数或者按分量元素收敛,都可以转化为数列的收敛。必要性: 由矩阵范数的等价性,有即 ,序列收敛的等价条件(续)Remark证毕2022/6/268序列收敛的等价条件(续)定理 的充要条件是证明 必要性是显然的,现证充分性。取为第i个单位
3、坐标向量,则,这意味的第i列元素的极限为零,取,则充分性得证.2022/6/269三.引理 证明:任何矩阵B总相似于它的Jordan标准型,即存 在可逆阵P,使 其中设 ,则 的充要条件是 ,其中 叫做矩阵B的谱半径。称为Jordan块。 为B的特征值 的重数, .2022/6/2610由归纳法可证显然 由,则续2022/6/2611 即从而 其中 , 时,不难看出 的充要条件为故续证毕2022/6/26124.迭代法的基本理论迭代法的一般格式为若,即,称为单步迭代法。若为线性的,即,称为单步线性迭代法,称为迭代矩阵。若,与k无关,即,k=0,1,,称为单步定常线性迭代法,或者叫简单迭代法。本
4、章主要讨论简单迭代。因为计算 一般要用到前面多步的值故称为多步迭代法。2022/6/2613一.简单迭代法的构造将该方程组等价变形为构造简单迭代格式,。若收敛于确定的向量,则就是方程组的解。此时称简单迭代法,关于初始向量收敛。设要求解的线性方程组为 ,其中 为非奇异矩阵, 为向量。2022/6/2614变形为的方式不唯一。当收敛时,只要充分大,则可用作为的近似值。同一个简单迭代法可以关于某一个收敛,而关于另外不收敛。 如果对初始向量 , ,则称此简单迭对任意,均有.代法关于初始向量收敛。一般谈及收敛,是指简单迭代法的构造(续)2022/6/2615二.简单迭代法的收敛性和收敛速度a.b.迭代矩
5、阵的谱半径1.收敛的充要条件 定理1.简单迭代法 , ,对 任意初始向量 都收敛的充要条件是:简单迭代法为.故设 有唯一解 ,2022/6/2616作为 ,证明: 必要性:用 表示 的(i,j)元素,简单迭代对 任意初始向量 有 .设 不趋 于零,则必有位置(p,q)使 不趋于零。取第q个单位向量 a.充分性: ,则由知对于任意初始向量,。收敛的充要条件(续)2022/6/2617 即向量 的第q个元素不趋于零,从而 与 矛盾。则有:收敛的充要条件(续)b.由上节引理可以直接证明。证毕2022/6/2618 是判定收敛的根本法则。 时,有可能存在某个初始向量 使简 单迭代法收敛。收敛的充要条件
6、(续)Remark2022/6/2619 2.收敛的充分条件引理:由矩阵范数的定义,有即对任意矩阵,有特征向量,则 。证明:事实上,设为B的任一特征值, 为相应于 的从而有显然有向量,使得 为非零矩阵。用 右乘上式,可得证毕2022/6/2620b.c.a.简单迭代格式关于任意初始向量 收敛. 定理2.设方程组 有唯一解 ,其简单迭数要求与用到的向量范数相容),则代法为,若(用到的矩阵范收敛的充分条件(续)2022/6/2621b.由,相减,得: 故 故又由,相减得:证明:敛基本定理,简单迭代格式对任意收敛。a.由 且 ,故 ,由迭代收收敛的充分条件(续)2022/6/2622从而由从而有由即
7、收敛的充分条件(续)2022/6/2623.c.由及即收敛的充分条件(续)证毕2022/6/2624 3.收敛速度由定理2可见,若 且 越小,则 收敛到解的速度越快。实际上,可以确切地说,谱半径 相对于1来说越小,则 的收敛速度越快。由 和 还可得到若要求迭代k次后所产生的误差缩小为初始误差的10m倍,即则只需2022/6/2625收敛速度(续)可以证明, ,则存在从属于矩阵范数 ,使 。因而上面的条件可以近似代替为故为了达到所提出的精度,上式给出了大约所需要的迭代次数。当误差压缩量10m确定后,这个次数主要由分母所刻划的。越大,则迭代次数越少,收敛越快。一般将定义为简单迭代法的收敛速度。20
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- 线性代数 方程组 迭代法
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