《通信》课件第5讲.ppt
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1、2023/6/71线性分组码线性分组码2023/6/72主要讲授内容主要讲授内容线性分组码的定义线性分组码的定义线性线性监督矩阵监督矩阵生成矩阵生成矩阵线性分组码的性质线性分组码的性质线性性线性性封闭性封闭性最小码距等于非零许用码组的最小码重最小码距等于非零许用码组的最小码重线性分组码的构造线性分组码的构造线性子空间构造线性子空间构造汉明式构造汉明式构造线性分组码的译码线性分组码的译码最大似然译码最大似然译码代数译码代数译码2023/6/73线性分组码定义线性分组码定义(n,k)线性分组码定义线性分组码定义从从k维空间到维空间到n维空间的一一映射的映射空间,并且这种映射维空间的一一映射的映射空
2、间,并且这种映射满足线性性。满足线性性。F:ICK维信息空间:IN维码空间:C2023/6/74线性性线性性若若k维空间中的信息码字维空间中的信息码字A,B,其映射结果为,其映射结果为F(A)、F(B),满足满足F(cA+dB)=c*F(A)+d*F(B)则称则称F为线性映射。为线性映射。F的值空间就构成线性分组码的码空间。的值空间就构成线性分组码的码空间。(n,k)码的一些基本数字关系)码的一些基本数字关系信息空间大小:信息空间大小:2k 种信息码字种信息码字 I(k-1),I(k-2),I(0)码空间大小:码空间大小:2k种许用码字种许用码字 a(n-1),a(n-2),a(0)提示:经过
3、(提示:经过(n,k)编码后,空间发生扩展)编码后,空间发生扩展2023/6/75编码中如何描述线性性编码中如何描述线性性(n,k)线性分组码的另一种定义线性分组码的另一种定义定义:定义:满足满足HA0的所有的所有A的集合的集合C称为(称为(n,k)线性分组码,其中)线性分组码,其中H是一个是一个nk行行n列的二元域上的矩阵,称为监督矩阵(校验矩阵)。列的二元域上的矩阵,称为监督矩阵(校验矩阵)。解释解释HA0定义了一种线性映射,且是一一对应的。定义了一种线性映射,且是一一对应的。若若A,B满足定义,则易知:满足定义,则易知:H(cA+dB)=0,即,即cA+dB也属于也属于C。例例2023/
4、6/76(n,k)码的监督矩阵)码的监督矩阵满足满足HA0的所有需用码组的所有需用码组A可以解如下方程得:可以解如下方程得:2023/6/77方程的解方程的解3个方程,个方程,7个未知数,只能得到个未知数,只能得到4个自由度(个自由度(4个信息比特)个信息比特)2023/6/78生成矩阵生成矩阵信息码字信息码字U生成矩阵生成矩阵G2023/6/79(7,4)码的许用码组)码的许用码组由于由于 I 是是4维空间中的一个码字,其取值可能性为维空间中的一个码字,其取值可能性为16种,种,将将16个码字分别乘以生成矩阵个码字分别乘以生成矩阵G,则得到(,则得到(7,4)码)码的所有许用码组。的所有许用
5、码组。(0000000)(0001011)(0010101)(0011110)(0100110)(0101101)(0110011)(0111000)(1000111)(1001100)(1010010)(1011001)(1100001)(1101010)(1110100)(1111111)2023/6/710小结小结线性(线性(n,k)码的关键参数)码的关键参数H:监督矩阵:监督矩阵G:生成矩阵:生成矩阵二者知一即可知关于(二者知一即可知关于(n,k)的所有信息。)的所有信息。引申内容引申内容(n,k)码的所有码字构成)码的所有码字构成n维空间中的维空间中的k维线性子空间维线性子空间(n,
6、k)的生成矩阵的)的生成矩阵的k行即是行即是n维空间的维空间的k个基个基以以n维空间的另外维空间的另外nk个基构成的生成矩阵所生成的线性分组个基构成的生成矩阵所生成的线性分组码(码(n,nk)称为()称为(n,k)码的对偶码。)码的对偶码。2023/6/711线性分组码的性质线性分组码的性质封闭性封闭性推论:最小码距等于最小码重(全零码除外)推论:最小码距等于最小码重(全零码除外)线性性线性性推论:任意码字的线性和还是许用码字推论:任意码字的线性和还是许用码字2023/6/712(n,k)码的构造)码的构造方法方法1、已知、已知H或或G,直接得到(,直接得到(n,k)线性分组码。)线性分组码。
7、2、找出、找出n维空间的维空间的n个基,任意选择个基,任意选择k个作为(个作为(n,k)码的生)码的生成矩阵成矩阵G。(如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距?)(如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距?)3、n维空间中任意挑选维空间中任意挑选2k个码字作为(个码字作为(n,k)码的需用码)码的需用码组,并与组,并与2k个信息码字构成一一映射。(注:此时不能保证个信息码字构成一一映射。(注:此时不能保证构造出的(构造出的(n,k)码是线性码)码是线性码)4、其它、其它如:汉明码、循环码、如:汉明码、循环码、BCH码等代数构造方法码等代数构造方法2023/6/713(n,k)汉明码)汉明
8、码汉明码是一种特殊的线性分组码,满足关系汉明码是一种特殊的线性分组码,满足关系2(n-k)-1=n只能纠一个错只能纠一个错最小码距为最小码距为3汉明码的构造思路汉明码的构造思路由于有由于有n-k个监督比特(冗余信息个监督比特(冗余信息),因此可以组成,因此可以组成2(n-k)个图样,个图样,每个图样对应信道传输的一种传输结果。每个图样对应信道传输的一种传输结果。当码字当码字A经过信道传输后,接收到的码字为经过信道传输后,接收到的码字为RAEE称为信道错误图样称为信道错误图样当信道只发生一个错误时,当信道只发生一个错误时,E的图样为(的图样为(10000)(01000)(00001),共,共n种
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