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1、2.1 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换通信原理通信原理第第2章章n1.傅里叶级数与傅里叶系数傅里叶级数与傅里叶系数n2.内积、能量、许瓦尔兹不等式内积、能量、许瓦尔兹不等式n3.常用傅氏变换及傅氏变换的性质常用傅氏变换及傅氏变换的性质n4.周期冲激序列周期冲激序列n5.理想采样理想采样傅里叶级数傅里叶级数3n周期信号:n周期信号可以展开为傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换4n1.傅里叶级数与傅里叶系数傅里叶级数与傅里叶系数n2.内积、能量、许瓦尔兹不等式内积、能量、许瓦尔兹不等式n3.常用傅氏变换及傅氏变换的性质常用傅氏变换及傅氏变换的性质n4.周期冲激序列周期冲激序列n5.理想采样
2、理想采样内积内积6功率与能量功率与能量7功率信号与能量信号功率信号与能量信号比例系数比例系数cos正负机会均等,正负机会均等,所以平均是零所以平均是零内积与能量内积与能量n信号的能量等于信号与其自身的内积18互能量互能量n两个信号的内积也称为互能量n实信号:=19信号之和的能量信号之和的能量n两个信号之和的能量是各自能量之和再加上互能量。正交正交n两个信号内积为零称为正交n两个正交信号之和的能量是能量之和=0能量信号的相关系数能量信号的相关系数n两个能量信号的相关系数是能量归一化之后的内积n正交信号的相关系数是022柯西柯西-许瓦兹不等式许瓦兹不等式n许瓦兹不等式有以下三种等价表述相关系数的模
3、值不超过1互能量的模值小于等于自能量的几何平均23证明证明n令:=02425即:即:证二:1+12 01 0 1 1复信号也可以表示成模值和相位的形式:29时域内积时域内积=频域内积频域内积n证明:证明:积分中的虚变量可以用任意符号冲激函数的性质:()=()n1.傅里叶级数与傅里叶系数傅里叶级数与傅里叶系数n2.内积、能量、许瓦尔兹不等式内积、能量、许瓦尔兹不等式n3.常用傅氏变换及傅氏变换的性质常用傅氏变换及傅氏变换的性质n4.周期冲激序列周期冲激序列n5.理想采样理想采样(1)面积面积n一个域中的原点值是另一个域中的面积一个域中的原点值是另一个域中的面积(2)矩形函数与矩形函数与sinc函
4、数函数n矩形的傅氏变换是矩形的傅氏变换是sincnsinc的傅氏变换是矩形的傅氏变换是矩形n时域越宽,频域越窄;频域越宽,时域越窄时域越宽,频域越窄;频域越宽,时域越窄n直流的傅氏变换是冲激直流的傅氏变换是冲激1()(3)直流与冲激直流与冲激n冲激的傅氏变换是常数冲激的傅氏变换是常数n时移时移即即(4)时移与频移时移与频移n例:例:n频移频移即:即:n例例其傅氏变换为其傅氏变换为时域共轭,则频域镜像共轭时域共轭,则频域镜像共轭(5)共轭与镜像共轭与镜像实信号频谱的模值是偶函数,相角是奇函数实信号频谱的模值是偶函数,相角是奇函数实信号的频谱满足共轭对称性n镜像镜像时域镜像,则频域镜像时域镜像,则
5、频域镜像47n时域乘积是频移卷积时域乘积是频移卷积(6)卷积与乘积卷积与乘积证明:n时域卷积是时域乘积时域卷积是时域乘积(6)卷积与乘积卷积与乘积证明:时域内积等于频域内积50因此:因此:(7)微分微分因此:因此:n符号函数符号函数(8)符号函数符号函数(8)复单频信号及周期信号复单频信号及周期信号n1.傅里叶级数与傅里叶系数傅里叶级数与傅里叶系数n2.内积、能量、许瓦尔兹不等式内积、能量、许瓦尔兹不等式n3.常用傅氏变换及傅氏变换的性质常用傅氏变换及傅氏变换的性质n4.周期冲激序列周期冲激序列n5.理想采样理想采样n时域周期冲激序列n傅氏级数n傅氏变换n左边逐项傅氏变换n右边逐项傅氏变换n两个结果相等得到n1.傅里叶级数与傅里叶系数傅里叶级数与傅里叶系数n2.内积、能量、许瓦尔兹不等式内积、能量、许瓦尔兹不等式n3.常用傅氏变换及傅氏变换的性质常用傅氏变换及傅氏变换的性质n4.周期冲激序列周期冲激序列n5.理想采样理想采样时域理想采样时域理想采样=()理想采样的频谱理想采样的频谱的傅氏变换是的傅氏变换是频域卷积频域理想采样频域理想采样时域采样对应到频域是频谱的周期性搬移频域理想采样频域理想采样同理可知:频域采样对应到时域是波形的周期性搬移上式说明周期信号的频谱是因此:由此得到任意周期信号的傅氏级数为周期信号其频谱