《微积分(第二版)》课件第二节换元积分法.ppt
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1、一、第一换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法第二节第二节 换元积分法换元积分法第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一换元积分法引例 分析 由于被积函数为复合函数,根据复合函数的特征,不妨设 则 于是积分为 验证 因为 ,所以上述积分正确.即一般而言,对于不定积分 有定理证由复合函数微分法则 所以 定理结论也可以写成 此式称为第一换元积分公式.第一换元法应用的基本过程还 原积 分换 元凑微分凑微分换元成新变量求原函数 还原成原变量 解决问题的特征:凑微分法主要解决复合函数与中间变量导函数乘积 的积分.在凑微分换元积分还原的解题过程中,关键是凑微分,它是换元的前提.
2、只有在被积函数的被积表达式中凑出 ,这样才能通过换元 ,以u为积分变量作积分,即所求积分化为 从这个意义上讲,第一换元积分法也称为“凑微分”法.例 求积分解 因为凑微分换元求积分还原例 求积分解 因为 对于凑微分法较熟悉后,可略去中间的换元步骤直接凑微分,将看作一个变量,然后求出积分.即例 求积分解 例 求积分解 例 求积分解 用凑微分法求积分时,必须要熟悉一些常见的凑微分公式,下面列出一些常见的凑微分形式.练习:求积分积分表达式凑微分形式例 求积分解练习:求积分例 求积分 ;解下面再推出一些常用的积分公式 公式想到公式例 求积分 解想到公式 公式例 求积分解例 求积分 ;类似地,有解例 求积
3、分 解类似地,有补充积分公式 用凑微分法计算积分时,由于选择不同的凑微分形成,所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同,但是它们之间至多只相差一个常数项,属于同一个原函数族.例 求积分解 下面给出不同的求解方法例 求积分解例 求解下面介绍一些三角函数的积分例 求积分解 例 求积分解二、第二换元积分法 分析 由于被积函数为无理函数,不便于求积分,因此应消去根式,也即使被开方式为平方式.引例 求不定积分 考虑到三角函数中的平方公式 ,也即 或 又 不妨作变换 则被开方式可以化为平方式,进而消去根式.(1)作变换 令则且(2)求积分求积分步骤:因为(3)还原变量验证 定理 设函数 f(x)连续,为单调可导函数其反函数为 且 ,若 是函数 的一个原函数,则这就说明了 是的f(x)原函数.证 由复合函数的求导法则及反函数求导公式,有第二换元法应用的基本过程积分换元换元成新变量求原函数 还原成原变量 解决问题的特征:第二换元积分法主要解决被积函数为 等无理函数的积分问题.还原解(1)令 即 则例 求积分(1)(2)(2)例 求积分解例 求积分解axt例 求积分解axt第二换元法常用的变换形式
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