《高等数学》课件第四章 一元函数积分学.ppt
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1、第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学l第一节 不定积分的概念与性质l第二节 不定积分法l第三节 定积分的概念与性质l第四节 牛顿-莱布尼兹公式l第五节 定积分的换元法与分部积分法l第六节 广义积分l第七节 数学实验四 用Mathematica计算积分第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数证二、不定积分证由导数与不
2、定积分定义,很容易得到如下规律:(微分运算与不定积分的运算是互逆的!)三、不定积分的几何意义由于不定积分是微分的逆运算,所以根据微分基本公式就得对应的积公式:四、基本的积分公式 以上13个公式是积分法的基础,必须熟记,不仅要记住等式右端的结果,还要熟悉左端被积函数的形式!由导数的运算法则和不定积分的定义,可以得到以下不定积分的运算法则.法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!五、积分的基本运算法则解解解解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节第二节 不定积分不定积分 利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的,因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分
3、法可分为第一类换元法和第二类换元法.第一类换元积分法(又称凑微分法)是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.一、第一类换元积分法注:换元过程可以省略.一般地,若不定积分被积表达式能写成下面举例说明解解解解 以上几例都是直接用凑微分求积分的,下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考解解解解解解法二解法一二、第二类换元积分法解解解图4-3 辅助直角三角形解图4-4 辅助直角三角形解图4-5 辅助直角三角形图4-3 辅助直角三角形图4-4 辅助直角三角形图4-5 辅助直角三角形 第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况,常用的变量替换可总结如下.在做三角替换时,可以利用直角三角形的边角关系确定有
4、关三角函数的关系,按图做代换及还原.本节一些例题的结果,可当作公式使用,为便于读者使用,将这些常用的积分公式列举如下.两类换元法就介绍这里,归纳起来看,它们的实质就是变量代换,变量代换是求不定积分的最基本的方法之一。因此,善于恰当地利用变量代换是掌握积技巧的关键.想要做到恰当,第一要熟悉基本积分公式,因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因为变量代换(或凑微分)时经常用到它,同时要熟具体函数及其微分特征,这样才较好地掌握换元积分法.三、分部积分法解解解在此例中,两次用了分部积分法.解解解解法二解法一解法三 由例22可以看出,求不定积分,常有多种方法,比较灵活,各种解法都
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