《复变函数与积分变换》教学大纲.docx
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1、复变函数与积分变换课程教学大纲课程类别:公共基础教育课程 英文名称:Functions of a complex variable and integral transforms开课单位:理学院数学系 课程编号:X02080016 课程性质:必修总学时:48 实验:0 学 分: 3 适用专业:工科专业 先修课程:高等数学大纲编写(修订)时间:2020.6一、课程性质与教学目标(一)课程性质与任务复变函数与积分变换作为一门公共基础课程,是高等数学的后续课程。本课程的主要内容是讨论(1)复变函数论,即单复变量的复值可微函数的性质,其主要研究对象是全纯函数,即复解析函数,其主要内容是复变函数的微积分
2、计算;(2)傅里叶变换、拉普拉斯变换的相关性质及其应用。在流体力学、 电磁学、热学、工程力学、等领域中,都会遇到平面向量场的问题,对于这类场,借助与复变函数的理论和方法,可以较简捷、深刻、完美地予以研究,也就是说,复变函数是解决这类问题的有力工具。 积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中,而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。如在无线电技术中,当我们需要设计一个符合要求的放大器时,往往要利用傅立叶变换对信号进行频谱分析;在控制理论中,当我们需要进行系统分析时,就通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。教学中应当结合实际,并适当反映
3、现代复变函数与积分变换的发展以激发学生的学习热情。复变函数论又称复分析,是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处,而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数与积分变换是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数与积分变换作为一种强有力的工具,已经被广泛应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数与积分变换作为一门学科,有其自身的特点,有其特有的研究方法。在学习过程中,应注意将所
4、学的知识融汇贯通,并通过与微积分理论的比较加深理解,掌握它自身所固有的理论和方法。(二)课程目标通过本课程的理论学习,应使学生具备下列能力:课程目标1:通过针对复数、复变函数、解析函数、复数项级数、复变函数项级数等基本概念和基本原理的学习,使学生对复分析理论有较深入的理解,能够发现复变函数理论与数学分析理论的联系与区别,有利于学生论证所掌握的数学原理与方法。(支撑毕业要求指标点1-1)课程目标2:通过对留数和留数定理的基本概念和原理的学习,使学生初步掌握三种实积分的计算方法。能够利用留数定理,解决复积分和实积分的计算问题。(支撑毕业要求指标点2-1)课程目标3:通过傅里叶级数、傅里叶积分变换概
5、念和性质、拉普拉斯积分变换概念和性质的学习,使学生能够利用积分变换方法解决一些工程应用中的实际问题,诸如求解微积分方程以及方程组的问题、解决线性实不变系统的问题等等。(支撑毕业要求指标点2-1)8二、 课程内容、学时分配及对毕业要求指标点的支撑章节内 容讲课实验小计支撑课程目标支撑的毕业要求指标点第1章1 复数与复平面1.1 复数及其几何表示;主要内容:复数的基本概念及其表示方法1.2 复平面的拓扑;主要内容:复平面点集的概念,邻域、区域与约当曲线的概念,了解复球面与无穷远点的概念重点:复数的计算、乘幂与方根的计算难点:复平面的拓扑60611-1第2章2 复变函数 2.1 解析函数;主要内容:
6、复变函数、导数与微分的概念,掌握复变函数极限的计算方法,了解复变函数的连续性,理解解析函数的概念,掌握柯西黎曼条件,会运用函数解析的充要条件2.2 初等函数;主要内容:理解初等解析函数,即指数函数和三角函数的概念,理解初等多值函数,即根式函数和对数函数的概念,了解幂函数、指数函数和反函数的概念,掌握求根式函数和对数函数的单值解析分支的方法重点:初等解析函数的计算难点:复变函数极限与连续的相关证明,复变函数解析的充要条件80811-1第3章3 复变函数的积分3.1 复变函数的积分;主要内容:复积分的概念及其性质3.2 柯西定理;主要内容:柯西积分定理、及柯西积分定理的推广和复围线情形3.3 柯西
7、积分公式;主要内容:柯西积分公式及其推论,掌握利用柯西积分公式求积分的方法,理解解析函数的无穷可微法、柯西不等式与刘维尔定理,了解摩勒拉定理,掌握解析函数的高阶导数公式重点:复变函数积分的计算难点:柯西不等式与刘维尔定理的相关证明80811-1第4章4 级数4.1 级数和序列的基本性质;主要内容:了解复级数的基本性质,一致收敛性 和解析函数项级数,理解幂级数的敛散性,幂级数和的解析性,了解收敛半径的求法4.2 泰勒展式;主要内容:掌握解析函数的泰勒展式,会求一些初等函数的泰勒展式4.3 洛朗展式;主要内容:理解解析函数的洛朗展式,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,会求简单的解析函数在孤立奇点领域内
8、的洛朗展式,理解解析函数的孤立奇点的概念,了解解析函数在无穷远点的性质,了解解析函数零点的孤立性,唯一性定理和最大模原理,理解孤立奇点的三种类型的等价定理,会判断孤立奇点的类型重点:解析函数展开成泰勒级数与罗朗级数难点:孤立奇点的判定80811-1第5章5 留数5.1 一般理论;主要内容:理解留数的定义及留数定理,掌握留数的求法5.2 留数计算的应用;主要内容:会用留数定理计算复积分和实积分,会计算积分路径上有奇点的积分,理解幅角原理及其应用,理解整函数与亚纯函数的概念重点:利用留数定理计算三类实积分难点:计算积分路径上有奇点的积分60622-1第7章7 Fourier变换7.1 Fourie
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