《复变函数与积分变换》2.1 解析函数的概念.pptx
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1、第二章第二章 解析函数解析函数解析函数是复变函数研究的主要对象,它在理论和实际问题中有着广泛的应用本章在介绍复变函数导数概念和求导法则的基础上,着重讲解解析函数的概念及其判别法,阐明解析与可导的关系,然后介绍一些常用的初等函数,说明它们的解析性2.1 解析函数的概念解析函数的概念 复变函数的导数复变函数的导数 一一定义定义1是D内任一点,令 如果 存在有限的极限值 A,设函数在开区域D内有定义1 导数的定义导数的定义 则称处可导,A 为在处的导数,记作 在复变函数的导数复变函数的导数 一一即或写成微分形式如果在区域D内处处可导(可微),则称在 D 内可导(可微)也称为 在 处的微分故也称在 处
2、可微复变函数的导数复变函数的导数 一一例例1求函数(为正整数)的导数解解因为所以复变函数的导数复变函数的导数 一一证明在全平面处处不可导证明证明因为对任意一点 分别考虑直线及直线在前一直线上,在后一直线上,上式恒等于1故当时,上式没有极限,即在处没有导数由于的任意性,在全平面处处没有导数例例2上式恒等于0;复变函数的导数复变函数的导数 一一2 可导与连续可导与连续 证明证明在处可导,则在处连续若在处可导,对于任意的存在使得当时,有 令则由有即在处连续定理定理1复变函数的导数复变函数的导数 一一3 求导法则求导法则(c为复常数)(c为复常数)复变函数的导数复变函数的导数 一一是两个互为反函数的单
3、值函数,3 求导法则求导法则 复变函数的导数复变函数的导数 一一例例3解解利用法则,得:复变函数的导数复变函数的导数 一一例例4解解(1)利用法则6o,得:的反函数为 复变函数的导数复变函数的导数 一一4 函数可导的条件函数可导的条件 定理定理2(CauchyRiemann)在区域D内有定义,可导,则复变函数的导数复变函数的导数 一一此时,的导数可写成C-R(CauchyRiemann)条件且满足方程(2.3)(2.4)复变函数的导数复变函数的导数 一一证明:证明:则依任何方式 其中复变函数的导数复变函数的导数 一一沿实轴趋于零,则不妨先让复变函数的导数复变函数的导数 一一沿虚轴趋于零,则又有
4、再让说明四个偏导数都存在.复变函数的导数复变函数的导数 一一比较上两式,则得 复变函数的导数复变函数的导数 一一注意注意本定理表明,若函数(2.4)可求得点的导数则依据公式这比由导数定义求导方便得多 CR条件只是导数存在的一个必要条件 复变函数的导数复变函数的导数 一一例例5证明:函数处处不可导 证明证明因此,即C-R条件不成立,在复平面的任何点处,不可导复变函数的导数复变函数的导数 一一例例6处的可导性 讨论解即函数 复变函数的导数复变函数的导数 一一但若让 所以函数 处的不可导 复变函数的导数复变函数的导数 一一定理定理3(函数可导的充分必要条件函数可导的充分必要条件)可导的充分必要条件是
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