《现代通信原理与技术》课件第2章.pptx
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1、第 2 章 随机过程第 2 章 随机过程2.1 随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性2.2 平稳随机过程平稳随机过程2.3 高斯随机过程高斯随机过程2.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.5 窄带随机过程窄带随机过程2.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声思考题思考题第 2 章 随机过程2.1 随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性自然界中事物的变化过程可以大致分成两类。一类是其变化过程具有确定的形式,或 者说具有必然的变化规律,用数学语言来说,其变化过程可以用一个或几个时间t的确定 函数来描述,这类过程称为确定性过程。例如,电容器通过
2、电阻放电时,电容两端的电位 差随时间的变化就是一个确定性函数。而另一类过程没有确定的变化形式,也就是说,每 次对它的测量结果没有一个确定的变化规律,用数学语言来说,这类事物变化的过程不可 能用一个或几个时间t 的确定函数来描述,这类过程称为随机过程。第 2 章 随机过程设有n 台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收 机的输出噪声波形(这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n 次观测)。测 试结果将表明,尽管设备和测试条件相同,记录的n 条曲线中找不到两个完全相同的波 形。这就是说,接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的,因而它是一个随机 过程。由此
3、我们给随机过程下一个更为严格的定义:设Sk(k=1,2,)是随机试验,每一 次试验都有一条时间波形(称为样本函数或实现),记作xi(t),所有可能出现的结果的总 体x1(t),x2(t),xn(t),就构成一随机过程,记作(t)。简言之,无穷多个样本 函数的总体叫做随机过程,如图 2-1 所示第 2 章 随机过程图 2-1 样本函数的总体第 2 章 随机过程显然,上例中接收机的输出噪声波形也可用图 2-1 表示。对接收机输出噪声波形的观测可看做是进行一次随机试验,每次试验之后,(t)取图 2-1 所示的样本空间中的某 一样本函数,至于是空间中哪一个样本,在进行观测前是无法预知的,这正是随机过程
4、随 机性的表现。随机过程的基本特征体现在两个方面:其一,它是一个时间函数;其二,在固 定的某一观察时刻t1,全体样本在t1 时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。因 此,又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见,随机过程具有随机变量 和时间函数的特点。下面将会看到,在研究随机过程时正是利用了这两个特点。第 2 章 随机过程2.1.2-随机过程的统计特性随机过程的统计特性 随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法,来描述它的统计特性。设(t)表示一个随机过程,在任意给定的时刻t1T,其取值(t1)是一个一维随机变 量。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数
5、来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1 的概率P(t1)x1,简记为F1(x1,t1),即第 2 章 随机过程式(2.1 1)称为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1 的偏导数存在,即 有则称f1(x1,t1)为(t)的一维概率密度函数。显然,随机过程的一维分布函数或一维概率 密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性,而没有说明随机过程在不同时 刻取值之间的内在联系,为此需要进一步引入二维分布函数。第 2 章 随机过程任给两个时 刻t1,t2-T,则 随 机 变 量(t1)和(t2-)构 成 一 个 二 元 随 机 变 量(t1),(t2),称为随
6、机过程(t)的二维分布函数。如果存在则称f2(x1,x2;t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。第 2 章 随机过程同理,任给t1,t2,tnT,则(t)的n 维分布函数被定义为如果存在第 2 章 随机过程则称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为(t)的n 维概率密度函数。显然,n 越大,对随机 过程统计特性的描述就越充分,但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中,掌握二 维分布函数就已经足够了。第 2 章 随机过程2.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作 中,有时不易或不需求出分布函数和概率密度函
7、数,而用随机过程的数字特征来描述随机 过程的统计特性,更简单直观。第 2 章 随机过程1.数学期望数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1 的取值(t1)是一个随机变量,其概率密度函数为 f1(x1,t1),则(t1)的数学期望为注意,这里t1 是任取的,所以可以把t1 直接写为t,x1 改为x,这时上式就变为随机过程 在任意时刻的数学期望,记作a(t),于是a(t)是时间t的函数,它表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心。第 2 章 随机过程2.方差方差D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻 t对于均值a(t)的偏离程度第 2 章 随机过程
8、3.相关函数相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时,常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。协方差函数定义为第 2 章 随机过程式中,t1 与t2-是任取的两个时刻;a(t1)与a(t2)为在t1 及t2时 刻 得 到 的 数 学 期 望;f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为第 2 章 随机过程二者关系为若a(t1)=0或a(t2)=0,则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2t1,并令t2=t1+,则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+)。这说明,相关函数依赖于起始时刻t1 及t2与t1 之间的时间间 隔
9、,即相关函数是t1和的函数。第 2 章 随机过程由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度的,因此,分别称为自协方差 函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程,可引入互协方差及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程,则互协方差函数定义为互相关函数定义为第 2 章 随机过程2.2-平稳随机过程平稳随机过程2.2.1 定义定义 所谓平 稳 随 机 过 程,是 指 它 的 统 计 特 性 不 随 时 间 的 推 移 而 变 化。设 随 机 过 程(t),tT,若对于任意n 和任意选定t1t2tn,tkT,k=1,2,n,以及h 为任意值,且x1,x2,xnR,有第 2
10、 章 随机过程则称(t)是平稳随机过程。该定义说明,当取样点在时间轴上作任意平移时,随机过程的 所有有限维分布函数是不变的,具体到它的一维分布,则与时间t无关,而二维分布只与 时间间隔有关,即有和以上两式可由式(2.2-1)分别令n=1和n=2,并取h=-t1 得证。第 2 章 随机过程于是,平稳随机过程(t)的均值为一常数,这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样,可以证明平稳 随机过程的方差2(t)=2=常数,表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数第 2 章 随机过程平稳随机过程(t)的自相关函数仅是时间间隔=t2-t1 的函数,而不再是t1 和t2-的二维函数。第 2 章
11、随机过程以上表明,平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征:它的均值与时间无关;它的自 相关函数只与时间间隔有关,即注意到式(2.2-1)定义的平稳随机过程对于一切n 都成立,这在实际应用上很复杂。但仅仅由一个随机过程的均值是常数,自相关函数是的函数还不能充分说明它符合平稳 条件,为此引入另一种平稳随机过程的定义:第 2 章 随机过程设有一个二阶矩随机过程(t),它的均值为常数,自相关函数仅是 的函数,则称它为宽平稳随机过程宽平稳随机过程或广义平稳随广义平稳随机过程机过程。相应地,称按式(2.2-1)定义的过程为严平稳随严平稳随 机机过过程或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过
12、程的定义只涉及与一维、二维概率密度 有关的数字特征,所以一个严平稳随机过程只要它的均方值E2(t)有界,则它必定是广 义平稳随机过程,但反过来一般不成立。通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过 程除特殊说明外,均假定是平稳的,且均指广义平稳随机过程,简称平稳过程。第 2 章 随机过程2.2.2-各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性,称为“各态历经 性”。这种平稳随机过程,它的数字特征(均为统计平均)完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征(均为时间平均)来替代。也就是说,假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个 实
13、现,它的时间均值和时间相关函数分别为第 2 章 随机过程如果平稳随机过程依概率1使下式成立:则称该平稳随机过程具有各态历经性。第 2 章 随机过程“各态历经”的含义:随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因 此,我们无需(实际中也不可能)获得大量用来计算统计平均的样本函数,而只需从任意一 个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征,从而使“统计平均”化为“时间平 均”,使实际测量和计算的问题大为简化。注意注意 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程,但平稳随机过程不一定是各 态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态历经条件。第 2 章 随机过程2.
14、2.3 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 对于平稳随机过程而言,它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一,平稳随机过 程的统计特性,如数字特征等,可通过自相关函数来描述;其二,自相关函数与平稳随机 过程的谱特性有着内在的联系。因此,有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设(t)为实平稳随机过程,则它的自相关函数第 2 章 随机过程第 2 章 随机过程2.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道,随机过程中的任一实 现是一个确定的功率型信号。对于任意的确定功率信号f(t),它的功率谱密度为第 2 章
15、随机过程图 2-2-功率信号f(t)及其截短函数第 2 章 随机过程式中,FT()是f(t)的截短函数fT(t)(见图 2-2)所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现,因而每一实现的功率谱密度也可用式(2.2-14)来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合,哪一个实现出现是不能预知的,因此,某一实 现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率 谱的统计平均,即第 2 章 随机过程虽然式(2.2-15)给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度 P(),但很难直接用它来 计算功率谱。那么,如何方便地求功率谱P()呢?我们知道,确知的非周
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