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1、第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.1 向量空间与子空间向量空间与子空间 6.2 基、维数与坐标基、维数与坐标 6.3 线性变换线性变换 6.4 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 6.5 正交变换与正交变换与对称变换对称变换总复习题总复习题第6章 向量空间与线性变换向量空间与线性变换是线性代数最基本的两个概念,它们来源于解析几何中的平面几何空间 R2 与立体几何空间 R3 以及与它们相关的坐标变换.向量空间与线性变换既是线性代数研究的基 本平台与对象,又是科学技术、经济管理的许多领域中研究问题的重要工具.第6章 向量空间与线性变换6.1 向量空间与子空间向量空间与子空间向量空间
2、是线性代数中比较抽象的概念.第6章 向量空间与线性变换6.1.1 向量空间向量空间 定义定义1 设V 是含有同维向量的非空集合,对于任意,V,任意kR,都有+,k V,即就是说V 对于向量的加法与数乘两运算封闭,由于同维向量的加法数乘满足8条算律,即 对于任意,V,任意k,lR,有(1)加法交换律:+=+;(2)加法结合律:(+)+=+(+);(3)加法有零元:存在oV,使得o+=+o=;第6章 向量空间与线性变换(5)数乘有单位元1:1=;(6)数乘与数的乘法有结合律:(kl)=k(l);(7)数乘对数的加法有分配律:(k+l)=k+l;(8)数乘对向量的加法有分配律:k(+)=k+k,这时
3、称V 为向量空间.按照向量空间的定义,Rn 就是一个向量空间,所以 R(n=1)称为直线空间,R2(n=2)称为平 面几何空间,R3(n=3)称为立体几何空间.第6章 向量空间与线性变换例例6.1.1 设 W 是齐次线性方程组的解集,由于齐次线性方程组的任意两解之和与任意一解 的数乘倍仍是其解,故齐次线性方程组的解集W 构成一个向量空间,从而齐次线性方程组的解集 W 也称该齐次线性方程组的解空间.第6章 向量空间与线性变换6.1.2 子空间子空间 定义定义2 若W 是向量空间V 的非空子集,W 对于向量的加法与数乘两运算封闭,则 W 也构 成了一个向量空间,称W 为V 的子空间.按子 空 间
4、的 定 义,几 何 空 间 R3 的 6 个 特 殊 子 集:坐 标 轴 Vx=(x,0,0)|x R,Vy=(0,y,0)|yR,Vz=(0,0,z)|zR;坐标平面Vxy=(x,y,0)|x,yR,Vxz=(x,0,z)|x,zR,Vyz=(0,y,z)|y,zR都是 R3 的子空间.第6章 向量空间与线性变换设1,2,r 是向量空间V 的向量,令可以验证,W=L(1,2,r)是V 的子空间,称为由1,2,r 生成的子空间,1,2,r 称为W=L(1,2,r)的生成元.第6章 向量空间与线性变换由于o=01+02+0rL(1,2,r),L(1,2,r)的任意两个元素 k11+k22+krr
5、,l11+l22+lrr,则它们的和仍然是L(1,2,r)的元素;任意aR,有也仍然是L(1,2,r)的元素,故W=L(1,2,r)是V 的子空间.第6章 向量空间与线性变换由于每个n 维向量=(1,2,r)都可以写成单位向量组1,2,n 的线性组合,故Rn=L(1,2,n).作为特殊情况,有第6章 向量空间与线性变换6.1.3 子空间的交与和子空间的交与和 定理定理1 设W1,W2 都是向量空间V 的子空间,则W1W2 也是向量空间V 的子空间.证明证明 因为W1,W2 都是向量空间V 的子空间,W1,W2 都非空,有1W1,2W2,则-11=-1W1,o=1+(-1)W1,-12=-2W2
6、,o=2+(-2)W2,于是oW1W2.任意1,2W1W2,任意kR,则1,2W1,1,2W2,且1+2,k2 W1,1+2,k1W2,从而1+2,k1W1W2,则W1W2也是向量空间V 的子空间.第6章 向量空间与线性变换由于子集的交满足交换律与结合律,故子空间的交也满足交换律与结合律.子空间的并未必是子空间,如Vx=(x,0,0)|xR,Vy=(0,y,0)|yR都是 R3 的子 空间,它们的Vx Vy 并不是R3的子空间,因为(1,0,0)Vx,(0,1,0)Vy,其和(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)Vx Vy.第6章 向量空间与线性变换定义定义3 设W1,W2 都是向量空
7、间V 的子空间,定义集合为W1,W2 的和.定理定理2 设W1,W2 都是向量空间V 的子空间,则其和是V 的子空间.第6章 向量空间与线性变换证明证明 由于W1,W2 都是向量空间V 的子空间,定理1的证明过程表明,有oW1,oW2,则o=o+oW1+W2,又任意,W1+W2,则由W1+W2 的定义,1,1W1,2,2W2,使=1+2,=1+2,而1+W1W1,2+2W2,则+=(1+2)+(1+2)=(1+1)+(2+2)W1+W2,W1+W2 关于V 的加法封闭.任意V1+V2,kR,存在1W1,2W2,使得=1+2,而另一方面,由于k1W1,k2W2,则k=k(1+2)=k1+k2 W
8、1+W2,W1+W2关于数乘封闭.故W1+W2 也是V 的子空间.第6章 向量空间与线性变换由和空间的定义可得,若W1,W2,W3 都是向量空间V 的子空间,则而W=L(1,2,r)=L(1)+L(2)+L(r);特别地,有第6章 向量空间与线性变换例例6.1.2 设W=(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0,证明:W 是 R3 的子空间.证明 由于0+0+0=0,o=(0,0,0)W,任意(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)W,任意k R,则x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.两元素的和为故(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3),k(x1,x2,x3)W,则W 是 R3
9、 的子空间.第6章 向量空间与线性变换设齐次线性方程组为其基础解系是1,2,m.第6章 向量空间与线性变换齐次线性方程组为第6章 向量空间与线性变换其基础解系是1,2,l,则方程组(6.1.1)的解空间 W1=L(1,2,m),方程组(6.1.2)的解空间W2=L(1,2,l).它们作为 Rn 的子空间,其和空间W1+W2=L(1,2,m,1,2,l);交空间W1W2 是齐次线性方程组的解空间.第6章 向量空间与线性变换习题习题6.1 1.设V 是向量空间,证明:V 的零元素o 构成的集合o是V 的子空间.2.设W=(x1,x2,x3)|x1=x2=x3,证明:W 是 R3 的子空间.3.证明
10、:R3=Vxy+Vxz=Vxy+Vyz.4.证明:R2=Vx+Vy,且Vx Vy=o.第6章 向量空间与线性变换6.2 基、维数与坐标基、维数与坐标6.2.1 基与维数基与维数 定义定义1 向量空间V 的极大无关组称为向量空间V 的基,即:如果在V 中有m 个线性无关的 向量1,2,m,而V 中每个向量,都可以由向量组1,2,m 线性表示,1,2,m 就是V 的一组基.m 称V 的维数,记作维(V),也说V 是m 维的.特别地,若V=o,即零空 间,此时V 无基,规定维(o)=0.第6章 向量空间与线性变换例例6.2.1 n 维单位向量组1,2,n 是 Rn 的n 个线性无关的向量,且 Rn
11、的每个向量=(1,2,n)=a11+a22+ann,故1,2,n 是 Rn 的基,该基称为 Rn 的标准 基,且Rn 是n 维的.特别地,=1是1维向量空间R的标准基;1=(1,0),2=(0,1)是2维向量空间 R2 的标准基;1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)是3维向量空间R3 的标准基;1=(1,0,0,0),2=(0,1,0,0),3=(0,0,1,0),4=(0,0,0,1)是4维向量空间R4 的标 准基.第6章 向量空间与线性变换例例6.2.2 系数矩阵秩小于未知数个数的齐次线性方程组,即有基础解系的齐次线性方程组 的基础解系是它的解空间的基,从而求齐次线性
12、方程组的基础解系就是求它的解空间的基.定理定理 m 维向量空间V 的任意m 个线性无关的向量组1,2,m 都是它的基.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.2.2 坐标坐标 定义定义2 设1,2,m是m 维向量空间V 的基,则V 中任意向量 都可由1,2,m 线性表示,即=a11+a22+amm,称(1,2,m)为向量 在基1,2,m 下的坐标.如(1,2,n)就是n 维向量=(1,2,n)在 Rn 的基1,2,n 下的坐标;(1,2)就是2维向量=(1,2)在 R2 的基1,2下的坐标;(1,2,a3)就是3维向量=(1,2,a3)在 R3 的基1
13、,2,3 下的坐标;(1,2,a3,a4)就是4维向量=(1,2,a3,a4)在 R4 的基1,2,3,4 下的坐标.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.2.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 1.基变换基变换 在m 维向量空间中,任意m 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基,同一个 向量的坐标一般是不同的.下面通过基的改变,讨论向量坐标是怎样变化的.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换2.坐标变换坐标变换 第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章
14、向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换习题习题6.2第6章 向量空间与线性变换6.3 线线 性性 变变 换换6.3.1 线性变换的概念线性变换的概念 定义定义1 一个非空集合到自身的映射称为变换.定义定义2 设 是向量空间V 的一个变换,对于V 中任意两个向量,和任意实数k,若满足 条件:(1)(+)=()+();(2)(k)=k()(称 保持线性运算)则称 是向量空间V 的一个线性变换.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换定理定理1 n 维行向量空间 Rn 的线性变换 为n 维列向量空间 Rn 的线性变换 为第6章 向量空间与线性变换6.3.2
15、 线性变换的基本性质线性变换的基本性质 设 是向量空间V 的线性变换,则(1)保持零向量与负向量,即(o)=o,(-)=-(),是V 的任意向量;(2)保持线性组合,即对于一切正整数s都有(3)保持线性相关,即若1,2,s 线性相关,则(1),(2),(s)也线性 相关.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.3.3 线性变换的核与值域线性变换的核与值域 定义定义3 设 是向量空间V 的线性变换,把V 的那些变成 的所有元素收集在一起做成的 集合记作-1(o)称为线性变换 的核.于是 的核为 关于V 的所有元素的像收集在一起做成的集合记作(V)称为线性变换 的值域.于是 的值
16、域为第6章 向量空间与线性变换定理定理2 向量空间V 的线性变换 的核-1(o)与值域(V)都是向量空间V 的子空间.证明证明 因V 是向量空间,则oV,(o)=oV,故 的核-1(o)与值域(V)都是非空集.任意,-1(o),则()=o()=o,从而(+)=()+o()=o+o=o,有+-1(o).任意kR,(k)=k()=ko=o,则k-1(o).于是核-1(o)是向量空间V 的子空 间.而当任意(),()(V),V,则()+o()=(+)(V)(+V).任意k R,k()=(k)(V)(kV),故值域(V)也是向量空间V 的子空间.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换定理
17、定理3 设 是n 维行向量空间 Rn 的线性变换:第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换习题习题6.3第6章 向量空间与线性变换6.4 线性变换的矩阵线性变换的矩阵6.4.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 上节我们讨论了向量空间上的线性变换,注意到向量空间除零空间外都有基,而且基不唯一.当已知向量空间的一组基后,向量空间中的每个向量在已知基下都有唯一的坐标,也就是基向量 的一个固定的线性组合.不同的基之间有过渡矩阵.那么向量空间的基与向量空间上的线性变换 有什么样的关系呢?第6章 向量空间与线性变换第6
18、章 向量空间与线性变换定理定理1 设V 是m 维向量空间,1,2,m 是V 的一组基,对V 的任意一组向量1,2,m,则存在唯一的线性变换,使(i)=i(i=1,2,m).由此定理我们得到一个重要的信息,理论上要确定一个线性变换,需要知道向量空间中每个 向量的对应向量,而这一点对无限维的向量空间来说是很难完成的,但是对有限维的向量空间,我们不需要了解那么多的信息,只需要知道一组基向量的像,即可完成确定线性变换.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换显然,从定义可知,m 维向量空间上的线性变换的矩阵是m 阶方阵;它的各列是:第一个基 向量的像在基下的坐标为第一列,第二个基向量在基下
19、的坐标是第二列,第 m 个基向量在基 下的坐标是第m 列.第6章 向量空间与线性变换定理定理2 一个线性变换在一组基下有唯一的矩阵.证明证明 假设则(0,0,0)=(1,2,m)(A-B),由于1,2,m 是基向量而线性无关,所以A-B=0,A=B.第6章 向量空间与线性变换例例6.4.1 数乘变换k(kR)的矩阵是数量矩阵kE,单位变换的矩阵是单位矩阵E,零变 换的矩阵是零矩阵0.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.4.2 线性变换的对角化线性变换的对角化 1.线性变换关于不同基的矩阵相似线性变
20、换关于不同基的矩阵相似 定理定理4 一个线性变换关于两个基的矩阵是相似矩阵,反之,相似矩阵可以理解为是同一线 性变换关于不同基的矩阵.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换2.线性变换的对角化线性变换的对角化 定义定义2 设V 是m 维向量空间,L(V),如果V 存在一组基,使得 在这个基下的矩阵是 对角矩阵,则称 可对角化.即L(V),若存在基1,2,m,使第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间
21、与线性变换即第6章 向量空间与线性变换习题习题6.4第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.5 正交变换与对称变换正交变换与对称变换6.5.1 欧氏空间欧氏空间 定义定义1 实向量空间中定义了内积后称为欧几里德空间,简称欧氏空间,如 R2,R3,R4,Rn 等.定义定义2 实向量空间的子空间自然地称为欧氏空间的子空间,如n 元齐次线性方程组的解空 间都是欧氏空间 Rn 的子空间.第6章 向量空间与线性变换定义定义3 欧氏空间的正交组构成的基称为正交基;欧氏空间的标准正交组构成的基称为标准 正交基.由标准正交基的定义,m 维欧氏空间V 的m 个向量1,2
22、,m 是标准正交基的充分必要 条件是第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换定理定理2 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵,反之若1,2,m 是标准正交基,A 是正交矩阵,(1,2,m)=(1,2,m)A,则1,2,m 也是标准正交基.第6章 向量空间与线性变换证明证明 只证列欧氏空间,行欧氏空间类似.设1,2,m;1,2,m 都是m 维欧氏 列空间V 的标准正交基,(1,2,m )=(1,2,m )A.由于(1,2,m ),(1,2,m )都是正交矩阵,因此A=(1,2,m )也是正交矩阵,故1,2,m 也是m 维欧氏列空间V 的标准正交基.第6章 向量
23、空间与线性变换在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来,即式中,1,2,m,)是在标准正交基1,2,m下的坐标.第6章 向量空间与线性变换在标准正交基下,内积有特别简单的表达式.设那么式中,X=(x1,x2,xm),Y=(y1,y2,ym)分别是,在标准正交基1,2,m 下的 坐标.这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.第6章 向量空间与线性变换6.5.3 正交变换正交变换 定义定义4 欧氏空间V 的线性变换 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对任 意的,V,都有正交变换可以从以下几个不同方面加以刻画.第6章 向量空间与线性变换定理定理3 设 是
24、m 维欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面四个命题是相互等价的:(1)是正交变换;(2)保持向量的长度不变,即对于V,()=;(3)如果1,2,m是V 的标准正交基,那么(1),(2),(m)也是V 的标准 正交基;(4)在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换例例6.5.1 设 R3 的线性变换为证明:是正交变换,进而证明 是旋转变换.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换例例6.5.2 设R3 的线性变换为证明:是正交变换,进而证明 是镜面反射.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6
25、章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换6.5.4 对称变换对称变换 定义定义5 欧氏空间V 的线性变换 叫做一个对称变换,如果对任意的,V,都有定理定理4 设 是m 维欧氏空间V 的一个线性变换,是对称变换的充分必要条件是 在标准 正交基1,2,m下的矩阵A 是实对称矩阵.第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换习题习题6.5第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换总复习题总复习题第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换第6章 向量空间与线性变换