《线性代数》课件第4章.pptx
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1、第4章 特征值与特征向量第第4 4章章 特征值与特征向量特征值与特征向量4.1 向量的正交性向量的正交性与与4.2 整系数多项式整系数多项式的的4.3 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 4.4 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 4.5 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化总总复习题复习题第4章 特征值与特征向量4.1 向量的正交性与正交矩阵向量的正交性与正交矩阵 4.1.1 向量的内积与长度向量的内积与长度 把解析几何中向量的内积推广到n 维向量,即定义定义1 设n 维列向量第4章 特征值与特征向量令称X,Y为向量X,Y 的内积(行向量亦类似).内积作为一种运算满足下列运算规律(下
2、面X,Y,Z 为n 维列向量,k 为实数):(1)对称性(交换性):X,Y=Y,X;(2)与数乘的结合性:kX,Y=kX,Y;(3)对加法的分配性:X+Y,Z=X,Z+Y,Z;(4)非负性:X,X0;且X,X=0X=0.根据内积的定义可证明施瓦兹不等式:X,Y2 X,XY,Y 等号成立当且仅当X,Y 线性相关 第4章 特征值与特征向量证明证明 对于任意实数t,由内积的性质,有上式作为t的二次三项式大于或等于零,则其判别式小于或等于零,即X,Y2X,XY,Y.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量证明证明 设1,2,s 为正交向量组,任取s个实数x1,x2,xs
3、,若两边都与i(i=1,2,s)作内积,则由已知,i,ixi=0(i=1,2,s),又i0,i,i0(i=1,2,s),于是xi=0(i=1,2,s),则1,2,s 线性无关.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量4.1.3 标准正交组的概念与求法标准正交组的概念与求法 定义定义6 n 维单位向量构成的正交组称为标准正交组.n 维单位向量组1,2,n 既是正交组,也是其标准正交组.又如,2维向量:都是标准正交组;第4章 特征值与特征向量3维向量:是标准正交组;4维向量:是标准正交组.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量4.1
4、.4 正交矩阵正交矩阵 定义定义7 满足ATA=E(即A-1=AT)的n 阶实方阵称为正交矩阵.由标准正交组与正交矩阵的定义,我们有以下定理2.定理定理2 n 阶实方阵A 称为正交矩阵的充分必要条件是A 的行(列)向量组为 Rn 的标准正 交基.如:四个都是正交矩阵.第4章 特征值与特征向量正交矩阵A,B 具有以下两个性质:(1)|A|=1;(2)AB 还是正交矩阵.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量4.2 整系数多项式的有理根整系数多项式的有理根在中学,我们学习了一元二次方程的求根公式,使一元二次方程的求根问题得到解决.那么 对于高次方程的求根,特别是整
5、系数代数方程的有理根求法,是非常重要的现实问题.对此,我们 详细讨论.第4章 特征值与特征向量设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是整系数多项式,bx+c是1次整系数多项式,用 bx+c去除f(x),得到的商式与余数分别设为g(x)=dn-1xn-1+dn-2xn-2+d1x+d0 与与r它们一般是有理系数多项式,即f(x)=(bx+c)g(x)+r 这是带余除法的特殊情况.对于数c,f(c)=ancn+an-1cn-1+a1c+a0 称为f(x)当x=c时的值.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特
6、征向量第4章 特征值与特征向量比较等式f(x)=(x-c)q(x)+r 中两端同次项的系数,得到这样,欲求系数bk,只要把前一系数bk-1乘以c再加上对应系数ak,而余式r 也可以按照类似的 规律求出.因此按照如下算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:其中的加号通常略去不写,这种除法称为综合除法.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量4.3 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量4.3.1 特征值与特征向量的概念与计算特征值与特征向
7、量的概念与计算 定义定义 设A 是n 阶方阵,若数(可以是复数)和n 维非零列向量X 使关系AX=X 成立,则数 称为方阵A 的特征值,非零列向量X 称为A 的属于特征值 的特征向量.第4章 特征值与特征向量AX=X 可写为(A-E)X=O,它作为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|-E|=0,即该式是以 为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程,其左端|A-E|是 的n 次多项 式,记作f(),称为方阵A 的特征多项式.显然,A 的特征值就是其特征方程的解,而A 属于特 征值 的特征向量X 是齐次线性方程组(A-E)X=O 的非零解向量.第4章 特征值与特征向量第4章 特征
8、值与特征向量第4章 特征值与特征向量对于3=2时,由(A-2E)X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=2的全部特征向量.注意注意:若Xi 是A 的对应于特征值i 的特征向量,则kXi(k0)也是对应于特征值i 的特征 向量.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量对于3=5时,由(A-5E)X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=5的全部特征向量.注意注意:例4.3.1与例4.3.2中都是矩阵的重特征值对应线性无关的特征向量个数与重特征值的 重数相等.第4章 特征值与特征向量第4章 特征值与特征向量得线性无关的特征向量是对应于特征值3=1的全部特征 向量.第4章 特征
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