《新编高等数学》课件3高等数学-第三章 导数与微分.pptx
《《新编高等数学》课件3高等数学-第三章 导数与微分.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《新编高等数学》课件3高等数学-第三章 导数与微分.pptx(84页珍藏版)》请在文库网上搜索。
1、1导数的概念2函数的求导法则3高阶导数4隐函数和由参数方程所确定的函数的导数5函数的微分第一节 导数的概念第一节 导数的概念3从研究常量到研究变量,从研究规则的几何体到研究不规则的几何体,是人类对自然界认识的一大飞跃。在这两个阶段中,不但研究的对象不同,而且研究的方法也不同。初等数学主要采用形式逻辑的方法,静止地、孤立地研究问题,而高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。导数是微积分的重要部分,是从生产技术和自然科学的需要中产生的。下面我们以两个问题为例,引入导数的概念,同时也介绍高等数学的基本思想方法。第一节 导数的概念4 设曲线 L 为函数 y=f(x)的图形,其上一点 A 的坐标为(
2、x0,f(x0)。在曲线上点 A 附近另取一点 B,它的坐标是(x0+x,f(x0+x)。直线 AB 是曲线的割线,它的倾斜角记作。由图中的直角三角形 ACB,可知割线 AB 的斜率为一、两个引例1.切线问题L f(x0+x)xyOABx0 x0+x f(x0)TC 第一节 导数的概念5 在数量上,它表示当自变量从 x0变到 x0+x 时函数 f(x)关于变量的平均变化率(增长率或减小率)。一、两个引例 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A,此时 x0,过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置直线 AT,我们就称 L 在点 A 处存在切线 AT。记 AT 的倾斜角为,则 为 的极
3、限,若 90 ,得切线 AT 的斜率 k 为 在数量上,它表示函数 f(x)在点 x0 处的变化率。第一节 导数的概念6 设一物体作变速直线运动,在 0,t 这段时间内所经过的路程为 s,则 s=s(t)是时间 t 的函数,求该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v(t0)。一、两个引例2.瞬时速度问题 首先考虑物体在时刻 t0 附近很短一段时间内的运动。设物体从 t0 到 t0+t 这段时间间隔内路程从 s(t0)变到 s(t0+t),其改变量为 s=s(t0+t)s(t0),在这段时间内的平均速度为 当时间间隔很小时,可以认为物体在时间 t0,t0+t 内近似地做匀速运动。因此,可以用 作为v(
4、t0)的近似值,而且t 越小,其近似程度越高。第一节 导数的概念7 当时间间隔t 0 时,我们把平均速度的极限称为时刻 t0 的瞬时速度,即一、两个引例 上述两个引例,虽然实际意义完全不同,但从数学结构上看,却具有完全相同的形式。在自然科学和工程技术领域内,还有许多其它的量,如电流强度、线密度等都具有这种形式。从抽象的数量关系来看,其实质都是函数的改变量与自变量的改变量之比,当自变量的改变量趋于零时的极限。我们把这种特定的极限叫做函数的导数。第一节 导数的概念8二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,对应于自变量 x 在点 x0 处有
5、改变量x,函数 y=f(x)相应的改变量为 y=f(x0+x)f(x0),若 y 与 x 之比当 x0 时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导,并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,记作即第一节 导数的概念9二、导数的定义 比值 表示函数 y=f(x)在点 x0 到 x0+x 之间的平均变化率,导数 则表示了函数在点处的变化率,它反映了函数 y=f(x)在点 x0 处自变量随因变量变化的快慢。如果当 x 0 时 的极限不存在,我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处不可导或导数不存在。特别地,如果 ,也说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大。在定义中,
6、若设点 x=x0+x,则导数定义式可写成第一节 导数的概念10二、导数的定义 由此可见,前面两个引例说明,曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率就是函数 f(x)在点 x0 处的导数,即 k=f(x0);而直线运动 s=s(t)在时刻 t0 的瞬时速度就是函数 s(t)点 t0 处的导数,即 v=s(t0)。根据导数的定义,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的步骤如下:第一步 求函数的改变量 第二步 求比值 第三步 求极限第一节 导数的概念11二、导数的定义 例3-1 求 在点 x=2 处的导数。解 则 于是 所以 第一节 导数的概念12二、导数的定义 例3-2
7、 求 在点 x=0 处的导数。解 当 x 0 时,于是有 所以 第一节 导数的概念13二、导数的定义 定义 函数 y=f(x)在点 x0 处的左导数记为 ,且 定理 函数在一点处导数存在的充要条件为左右导数存在且相等,即同样,右导数为第一节 导数的概念14二、导数的定义2.导函数的概念 如果函数 y=f(x)在开区间 I 内的每一点都可导,则称函数 y=f(x)在开区间 I 内可导。这时,对开区间 I 内每一个确定的值 x 都对应一个 f(x)的确定的导数值,这样就构成一个新函数,称之为 f(x)的导函数,简称为导数,记作即第一节 导数的概念15二、导数的定义 注意:f(x)是 x 的函数,而
8、 f(x0)是一个数值;f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 x0 处的函数值。例3-3 求函数 y=C(C 为常数)的导数。解因为 y=C C=0,所以即常数的导数恒等于零。第一节 导数的概念16二、导数的定义 例3-4 求 y=lnx 的导数。解 由于 因此即第一节 导数的概念17二、导数的定义 例3-5 求 f(x)=xn(nN)的导数。解 根据导数定义,再利用二项展开式,可得即 一般的,对于幂函数 y=xk(kR),有这就是幂函数的求导公式,利用它可以很方便的求出幂函数的导数。第一节 导数的概念18二、导数的定义 例3-6 求下面函数的导数:(1);(2);
9、(3);(4)解 (1)这些常用幂函数的导数也可以记住结论,直接应用。(2)因为,所以(3)因为,所以(4)因为,所以第一节 导数的概念19三、导数的几何意义 由引例的切线问题及导数的定义可知,如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)有不垂直于x 轴的切线,其斜率为 f(x0),这就是导数的几何意义。根据导数的几何意义及直线的点斜式方程,容易求出曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为:而过点(x0,f(x0)处的法线方程为:第一节 导数的概念20三、导数的几何意义x1 O x2 x3 x显然 O x0 x即 不存在。第一节 导数的概念21
10、三、导数的几何意义 如果 f(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)具有水平切线 y=f(x0),而法线为 x=x0;如果 f(x)在点 x0 处的导数为无穷大,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0,而法线为切线 y=f(x0)。例3-7 求曲线 y=x4 在点(2,16)处切线和法线方程。解 因为所以所求的切线方程为,则即法线方程为即第一节 导数的概念22 初等函数在其有定义的区间上都是连续的,那么函数的连续性与可导性之间有什么联系呢?所以 这表明函数 y=f(x)在点 x0 处连续。四、函数的可导性与连续性的关系 如果函数 y=f(
11、x)在点 x0 处可导,则有 ,根据具有极限的函数与无穷小的关系,可得或第一节 导数的概念23 定理 如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则函数 f(x)在点 x0 处连续。所以函数 y=|x|在 x=0 处不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 但是,函数 y=f(x)在点 x0 处连续时却不一定在该点处可导。例3-8 函数 y=|x|在 x=0 处是连续的但却不可导,因为:O yxy=|x|第一节 导数的概念24 例3-9 函数 在 x=0 处连续但却不可导,因为曲线在原点具有垂直于 x 轴的切线,也就是说,函数 在 x=0 处的导数为无穷大。所以函数 f(x)在 x=0 处不连续,于是
12、函数 f(x)在 x=0 处也不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 例3-10 设函数讨论函数在 x=0 处的连续性和可导性。O yx 解 因为第一节 导数的概念25四、函数的可导性与连续性的关系O y xx0(1)连续但不可导之一:曲线在该点不光滑,形成尖角。(2)连续但不可导之二:O y xx0 曲线在该点具有垂直于 x 轴的切线。函数在该点导数为无穷大,事实上导数不存在。第一节 导数的概念26四、函数的可导性与连续性的关系(3)不连续所以不可导:O y xx0第二节 函数的求导法则第二节 函数的求导法则28前面用导数定义求出了常数、自然对数和幂函数的导数公式,但对于一般的函数,用定义求
13、导数,运算往往比较复杂,有时甚至是不可行的。为了能够迅速、准确的求出初等函数的导数,本节将介绍基本初等函数的导数公式和函数求导的四则运算及复合函数的求导法则。利用导数公式和求导法则就能比较方便的求出初等函数的导数。第二节 函数的求导法则29一、基本导数公式(1)(4)(6)(7)(2)(k为常数)(3)(a 0 且 a 1)(5)(a 0 且 a 1)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)三角函数及反三角函数的导数公式可以采用对比记忆法。第二节 函数的求导法则30 定理 设函数 u(x)和 v(x)均在 x 点可导,则它们的和、差、积、商(分母不为 0 时)也均在
14、 x 点可导,且有二、函数和、差、积、商的求导法则乘积求导的推广和特例:商的求导的特例:第二节 函数的求导法则31二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-11 设 ,求 。解 例3-12 设 ,求 ,。解于是第二节 函数的求导法则32二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-13 设 ,求 。解 解 例3-14 设 ,求 。第二节 函数的求导法则33二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-15 设 ,求 。解 解 例3-16 设 ,求 。第二节 函数的求导法则34二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-17 设 ,求 。解 解 例3-18 设 ,求 。第二节 函数的求导法则35二、函数和、差、积
15、、商的求导法则 例3-19 设 ,求 。解 解 例3-20 设 ,求 。第二节 函数的求导法则36二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-21 设 ,求 。解 解 例3-22 设 ,求 。第二节 函数的求导法则37二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-23 设 ,求 。解第二节 函数的求导法则38二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-24 设 ,求 。解 解 例3-25 设 ,求 。第二节 函数的求导法则39 定理 设函数 u=(x)在 x 处可导,函数 y=f(u)在对应点 u=(x)处可导,则复合函数 y=f(x)在 x 处可导,且有 复合函数的求导法则说明:y 对 x 的导数等于 y
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新编高等数学 新编高等数学课件3高等数学-第三章 导数与微分 新编 高等数学 课件 第三 导数 微分