《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分.pptx
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1、1不定积分的概念和性质2第一类换元积分法(凑微分法)3第二类换元积分法4分部积分法5几种特殊类型的不定积分第一节 不定积分的概念和性质第一节 不定积分的概念和性质3 定义定义 如果在区间 I 上,可导函数 F(x)的导数为 f(x),即对于区间上的任何一点 x 都有一、原函数与不定积分的概念或则称函数 F(x)为 f(x)在区间 I 上的原函数。例:(1)在区间(,+)内 ,所以 x2 是 2x 在区间(,+)内的原函数;,所以 sin x 是 cos x 的原函数。(3)x 0 时,(2)所以 lnx 是 在区间(0,+)内的原函数。第一节 不定积分的概念和性质4一、原函数与不定积分的概念
2、2.原函数的结构问题:一个函数如果存在原函数,其原函数的个数有多少?这些原函数的关系如何表达?1.原函数的存在问题:一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在?原函数存在定理:如果函数 f(x)在区间 I上连续,则在区间 I 上存在可导函数 F(x),使得对于区间 I 上的任何一点 x,有 即连续函数一定存在原函数。第一节 不定积分的概念和性质5一、原函数与不定积分的概念 设 F(x)为 f(x)区间 I 上的一个原函数,则对于任意常数 C,有 即函数 F(x)C 也是 f(x)的原函数。说明:如果 f(x)有一个原函数,那么 f(x)就有无穷多个原函数。设 G(x)是 f(x)的另一个原函数,
3、则于是即 G(x)F(x)=C0(C0 为某个常数)原函数的结构问题:第一节 不定积分的概念和性质6 定义 在区间 I 上,f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)在区间 I 上的不定积分,记作一、原函数与不定积分的概念其中记号 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,x 称为积分变量。如果 ,那么因此,不定积分 可以表示 f(x)的所有原函数。积分常数积分号被积函数被积表达式积分变量第一节 不定积分的概念和性质7一、原函数与不定积分的概念 不定积分与微分(求导)互为逆运算:注解 由此可见微分运算(以记号 d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算,以记号 表示)
4、是互逆的,记号 与 d 一起时或者抵消,或者抵消后差一常数。先积后微,形式不变;先微后积,差个常数。第一节 不定积分的概念和性质8二、不定积分的几何意义 定义 设 F(x)是 f(x)的一个原函数,y=F(x)的图形称为 f(x)的积分曲线。显然积分曲线不止一条,而且所有的积分曲线都可以由一条积分曲线沿 y 轴方向平移得到。不定积分的几何意义:任一条积分曲线 y=F(x)沿着 y 轴从 到+连续地平行移动所产生的一族积分曲线。例5-1 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 2 倍,求此曲线的方程。第一节 不定积分的概念和性质9二、不定积分的几何意义 解 设所求曲线方
5、程为 y=f(x),由题设,曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 即 f(x)是 2x 的原函数,因为 故必存在某个常数 C,使 因为所求曲线通过点(1,2),所以 C=1。于是所求曲线方程为:该例就是求函数 2x 的通过点(1,2)的那条积分曲线。第一节 不定积分的概念和性质10三、基本积分表 根据不定积分的定义,求函数 f(x)的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数 C 即可。例如:,所以 是 的一个原函数,因此第一节 不定积分的概念和性质11三、基本积分表 又如,当 x 0 时,所以 是 的一个原函数,因此当 x 0)解 例5-19 求 (其中 a 0)二、应用举例第二节 第
6、一类换元积分法(凑微分法)31 例5-20 求 解(其中 a 0)二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)32 例5-21 求 解 在使用第一类换元积分法时,总是将被积函数分解成两个因式 与 的乘积,然后将 按微分逆运算写成 ,当被积函数的中间变量与积分变量的形式一致时,就可使用基本积分表中的结论写出积分结果。二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)33 例5-22 求 解二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)34 例5-23 求 解 例5-24 求 解类似可得二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)35 例5-25 求 解类似可得二、应用举例第二节 第一类换
7、元积分法(凑微分法)36 例5-26 求 解二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)37 例5-27 求 解 通过上面的例子可以看到,利用第一类换元积分法求不定积分需要一定的技巧,关键是要在被积表达式中凑出适用的微分因子,进而进行变量代换,这方面无一般法则可循,但熟记一些常用的凑微分公式是有帮助的。二、应用举例 例5-28 求 解第二节 第一类换元积分法(凑微分法)38 例5-29 求 解 例5-30 求 解二、应用举例第二节 第一类换元积分法(凑微分法)39 本节中几个例题的结果通常可以直接使用,现在把它们作为公式补充到第一节的基本积分表中。三、基本积分表的补充(14)(15)(16
8、)(17)(18)(19)(20)第二节 第一类换元积分法(凑微分法)40 例5-31 求 解 例5-32 求 解三、基本积分表的补充第三节 第二类换元积分法第三节 第二类换元积分法42一、第二类换元积分法法则 用第一类换元积分法能够求出许多不定积分,但有些不定积分例如却不能用第一类换元积分法求解。我们引入另一种积分法第二类换元积分法。下面来介绍几种第二类换元积分法的常见形式。定理(第二类换元积分法)设函数 f(x)连续,x=(t)具有连续的导数 ,且 ,则有换元公式第三节 第二类换元积分法43二、无理代换 对于被积函数中含有 的不定积分,可令 ,即做变量代换 (a 0),从而把无理函数的积分
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