《新编高等数学》课件2高等数学-第二章 极限与连续.pptx
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1、1数列的极限2函数的极限3无穷小与无穷大4极限的运算法则5两个重要极限6函数的连续性第一节 数列的极限第一节 数列的极限3 极限的概念是由于求某些问题的精确解而产生的,我们先介绍古代数学家刘徽(魏晋期间伟大的数学家),利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法割圆术。设有一圆,先做内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,再作内接正二十四边形,其面积记为A3,依次逐渐将边数加倍。这样就得到一系列内接正多边形的面积:这就是一个数列。“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。一、数列的概念A1,A2,A3,An,第一节 数列的极限4 一般地说,按
2、自然数1,2,3,编号依次排列的一列数称为一个无穷数列,简称数列。其中的每一个数称为数列的一个项,xn,称为数列的通项或一般项。通项为xn 的数列可以简记为数列 xn。数列 xn 可以看成自变量为正整数的函数:一、数列的概念x1,x2,x3,xn,在几何上,数列 xn 可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点 x1,x2,x3,xn,第一节 数列的极限5 例如,以下都是数列:一、数列的概念一般项是一般项是一般项是第一节 数列的极限6 对于数列,当 n 无限增大时,它能否无限趋向于一个常数,如果能的话,这个常数又是什么,如何求出?二、数列极限的定义 割圆术中的数列A1,A2,A3,An,从其
3、几何意义上可知,随着 n 无限增大,An 的值也逐渐增大,并且无限的接近圆的面积 A。定义 设有数列 xn,如果存在常数 a,当 n 无限增大时,xn 无限趋近于 a,则称数列 xn 以 a 为极限,或称数列 xn 收敛于 a,记作如果这样的常数 a 不存在,则称数列 xn 发散。或 ()第一节 数列的极限7二、数列极限的定义 (1);(2);(3);(4);(5);(6);例2-1 观察下列数列 xn 的极限:解:(1);(2);(3)发散;(4);(5)当 n 时,数列发散(无限增大);(6)第一节 数列的极限8 为了方便起见,有时也将当 n 时|xn|无限增大的情况说成是数列 xn 趋向
4、于,或称其极限为(但这不表示数列是收敛的),记作二、数列极限的定义或 ()如果当 n 足够大时能够限定 xn 的正负,且当 n 时|xn|无限增大,则可记作或()例如第一节 数列的极限9 下面给出数列极限的严格定义(N 定义):二、数列极限的定义恒成立,则称数列 xn 以 a 为极限,或称数列 xn 收敛于 a;如果这样的常数 a 不存在,则称数列 xn 发散。数列 xn 收敛于 a 的几何意义为:对于任意给定的 0,当 n N 时,所有的点 xn 落在(a ,a+)内,数列中只有有限个点(至多只有 N 个)落在其外。定义 设有数列 xn,如果存在常数 a,使得对于任意给定的正数 (无论它多么
5、小),总存在正整数 N,使得当 n N 时,不等式xx2xN+2xN+1aa+a-第一节 数列的极限10性质1(极限的唯一性)收敛数列的极限是唯一的。三、收敛数列的基本性质性质2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛,则数列xn一定有界。推论 无界数列一定是发散的。注意:数列有界数列收敛的必要而非充分条件。如数列 (-1)n+1 有界,但却是散数列。第二节 函数的极限第二节 函数的极限12 数列是定义在正整数集合上的函数,它的极限只是一种特殊的整标函数的极限。现在我们讨论定义在实数集合上的一般的函数的极限。关于函数的极限,我们主要讨论两种情形:(1)自变量 x 的绝对值|x|无限增大或者说趋于无
6、穷大(记作 x)时,对应函数值 f(x)的总的变化趋势;(2)自变量 x 无限接近于有限值 x0 或者说趋于有限值 x0(记作 x x0 )时,对应函数值 f(x)的总的变化趋势;第二节 函数的极限13 定义 设函数 f(x)的在|x|M(M 为某一正数)时有定义,如果存在常数 A,当|x|无限增大时,对应的函数值 f(x)无限的接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x 时的极限,或简称为 f(x)在无穷大处的极限,记作一、自变量趋于无穷大时函数的极限 考虑函数 ,当|x|无限增大时,它所对应的函数值 y 就无限的趋近于 0,我们称当 x 趋于无穷大时,函数 以 0 为极限。或 ()如果这
7、样的常数 A 不存在,则称当 x 时函数 f(x)没有极限(或称极限 不存在)。第二节 函数的极限14 定义 设函数 f(x)的在|x|M(M 为某一正数)时有定义,如果存在常数 A,使得对于任意给定的正数 (无论它多么小),总存在正整数 X,使得当|x|X 时,对应的函数值 f(x)都满足不等式 类似于数列的极限,也可以给出严格的 X 定义:一、自变量趋于无穷大时函数的极限 如果定义中限制 x 只取正值或者只取负值,我们就分别记为或称为 f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。则称 A 为函数 f(x)当 x 时的极限。第二节 函数的极限15 对于一些简单函数,通过观察函数值或图形就可以得到
8、函数当 x 时的极限,如:一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义中的|x|X 如果改为 x X(x X),就可得到 f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。于是容易得到:一般来讲,如果 (或 ),则直线 y=A 就是函数 y=f(x)的图像的水平渐近线。第二节 函数的极限16 注意:定义不要求 f(x)的在点 x0 有定义,因为当 x x0 时 x x0。二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义 设函数 f(x)在点 x0 的附近有定义,若存在常数 A,当 x 无限趋向于 x0 时,对应的函数值 f(x)无限的接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x x0 时的极限,记作或 ()如果这样的常
9、数 A 不存在,则称当 x x0 时函数 f(x)没有极限(或称极限 不存在)。上述定义也可以解释为:只要 x 与x0 足够接近(即|x x0|足够小),就可以使 f(x)与 A 任意接近(即|f(x)A|任意小)。第二节 函数的极限17 点 a 称为这个邻域的中心,称为这个邻域的半径。并且可以看出,U(a,)也就是以点 a 为中心,长度为 2 的开区间(a ,a+)。二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义 设 a 与 是两个实数,数集 x|x a|称为点 a 的 邻域,记作 U(a,),即 为了阐述函数的局部性态,还经常用到邻域的概念,它表示某点附近的所有点的集合。aaa+xaaa+x第二节
10、 函数的极限18二、自变量趋于有限值时函数的极限 U(a,)表示与点 a 的距离小于 的点的全体。有时用到的邻域需要把中心去掉,将 U(a,)的中心 a 去掉后,称为点 a 的去心 邻域,记作 由此,也可以给出函数在一点处极限的严格的 定义:定义 设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义,如果存在常数 A,使得对于任意给定的正数 (无论它多么小),总存在正整数,使得当 0|x x0|时,对应的函数值 f(x)都满足不等式则称 A 为函数 f(x)当 x x0 时的极限。第二节 函数的极限19二、自变量趋于有限值时函数的极限 其几何意义为:对于任意给定的正数,总存在正数 ,当 x 落在
11、x0 的去心 邻域内时,函数 y=f(x)的图形完全落在以为 y=A 中心线,宽为 2 的带状区域内。例2-2 对于一些简单的函数,可以根据观察判断出它的极限:y=f(x)A+AA yx x0 x0 x0+O (1)(C 为常数);(2);(3)(4)第二节 函数的极限20 前面给出的 x x0 时函数 f(x)的极限,自变量 x 是从左右两侧趋近于的,但有时我们只能或只需考虑 x 是仅从左侧趋近于 x0(即 x x0)的情形,为此,通常将类似可以定义右极限为三、单侧极限 x x0 时,x x0 时的情况记作 定义 设函数 f(x)在点 x0 的左侧附近有定义,若存在常数 A,使得当 x 从左
12、侧无限趋向于 x0 时,对应的函数值 f(x)无限的接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x 趋于 x0 时的左极限,记作第二节 函数的极限21 左极限与右极限统称为单侧极限。右极限为三、单侧极限 定理 当 x x0 时函数 f(x)以 A 为极限的充分必要条件是 f(x)在点 x0 处的左、右极限存在且都等于 A,即 例2-3 设 ,求 1Oxy 解 左极限为所以第二节 函数的极限22因此 ;又由于 三、单侧极限 例2-4 设 ,讨论 x 0 时及x 1 时 f(x)的极限。解 由于 ,所以 x 1 时 f(x)的极限不存在,或称 不存在。第二节 函数的极限23 性质1(函数极限的唯一性
13、)如果 存在,则极限唯一。性质2(有极限函数的局部有界性)如果 存在,则函数 f(x)在点 x0 的某个邻域内有界,即存在常数 M,使得在点 x0 的某个邻域内有第三节 无穷小与无穷大第三节 无穷小与无穷大25一、无穷小 无穷小的概念在极限的研究中有及其重要的作用。定义 在自变量 x 的某个变化过程中,若函数 f(x)的极限为零,则称 f(x)在该变化过程中为无穷小量,简称无穷小。例2-5 因为 ,所以函数 是当 x 时的无穷小。例2-6 因为 ,所以函数(x 1)是当 x 1 时的无穷小。例2-7 因为 ,所以函数 sinx 是当 x 0 时的无穷小。注意:不要把无穷小与绝对值很小的数混为一
14、谈,无穷小是一个以0 为极限的函数,能作为无穷小的常数只有0,其它任何常数,无论其绝对值多么小,也不是无穷小。第三节 无穷小与无穷大26一、无穷小 下面定理说明了无穷小与函数极限的密切关系:由无穷小的定义,不难理解无穷小的下列性质:性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。性质3 有限个无穷小的乘积是无穷小。推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。定理 在自变量 x 的某个变化过程中,函数 f(x)有极限 A 的充分必要条件为:f(x)可以表示为 A 与一个同一变化过程中的无穷小 的和,即第三节 无穷小与无穷大27一、无穷小 注意:无穷多个无穷小的代数和不一定是
15、无穷小;两个无穷小的商不一定是无穷小。例2-8 求极限 解:由于 ,所以 例2-9 求极限 解:由于 ,所以 第三节 无穷小与无穷大28二、无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积仍是无穷小,但无穷小的商就不易确定了。可见两个无穷小的商,可以是无穷小,可以是无穷大,也可以是常数或极限为常数的变量,这是因为无穷小在趋于零的过程中快慢不同。例如,当 x 0 时,x,2x,x2,x3,x+x2 都是无穷小,而此时 为了比较无穷小,我们引入无穷小的阶的概念。第三节 无穷小与无穷大29二、无穷小的比较 定义 设 及 是自变量同一变化过程中的无穷小,且 ,则 (1)如果 ,则称 是比 高阶的无穷小,记作 ;(
16、2)如果 ,则称 是比 低阶的无穷小;(3)如果 ,则称 与 是同阶的无穷小;(4)如果 ,则称 与 是等价无穷小,记作 。显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。第三节 无穷小与无穷大30二、无穷小的比较 由定义可见,当 x 0 时,x2 是 x 的高阶无穷小,即 x2=o(x),而 x2 是 x3 的低阶无穷小,x 与 2x 是同阶无穷小。关于等价无穷小,有下面定理:定理 在自变量同一变化过程中,如果 ,且 存在,则证第三节 无穷小与无穷大31二、无穷小的比较求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可以用等价无穷小来代替;在求分式的极限时,分子及分母中的无穷小因子也可以用等价无穷小来代替。如
17、果用来代替的无穷小选取适当的话,可以使计算简化。在后面的极限计算中我们会遇到利用等价无穷小代换来求极限的例子。需要注意的是,当分子或分母是若干项的和或差时,一般不能对其中某一项作等价无穷小的代换。第三节 无穷小与无穷大32三、无穷大 (1)lim f(x)=并不表示 f(x)有极限,无穷大“”不是数,只是一个符号;(2)无穷大是无界函数,但是无界函数不一定是无穷大;(3)无穷大是一个绝对值无限大的变量,任何绝对值很大的常数都不是无穷大。定义 在自变量 x 的某个变化过程中,若函数 f(x)的绝对值无限增大,则称 f(x)在该变化过程中为无穷大量,简称无穷大,可以记作 lim f(x)=。例如,
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