《新编高等数学》课件7高等数学-第七章 微分方程.pptx
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1、1微分方程的基本概念2一阶微分方程3二阶微分方程2第一节 微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念3 3 例7-1 某曲线过点(1,2),且该曲线上任意一点 M(x,y)处的切线的斜率为3x2,求该曲线的方程。解 设所求曲线方程为 y=y(x),根据导数的几何意义可知,该未知函数满足关系式:且满足条件:下面我们通过两个例子来说明微分方程的一些基本概念。方程两端积分,得将条件代入上式解得 C=1,从而所求曲线方程为:第一节 微分方程的基本概念4 4 例7-2 某车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶。当制动时,该车获得加速度 0.4m/s2。问开始制动后,该车多长时间
2、才能停住,及在这段时间内行驶了多少路程?解 设该车在开始制动后,t 秒时行驶了 s 米。根据题意,反映制动阶段运动规律的函数 s=s(t)应满足关系式:此外,还应满足条件:,方程两边逐次积分,得第一节 微分方程的基本概念5将条件 ,代入上面两式,解得 令 ,可得该车从开始制动到完全停止,所需时间 t=50 s,所行驶路程从而有第一节 微分方程的基本概念6 定义 含自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。如果在微分方程中出现的未知函数是一元函数(即只含一个自变量),则称这个方程为常微分方程,也可以简单地叫做微分方程;如果在微分方程中出现的未知函数是多元函数,则称之为偏微分方
3、程。上述例子都是常微分方程。本章也只讨论常微分方程。微分方程的实质:联系自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的关系式。如:第一节 微分方程的基本概念7 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数,称为微分方程的阶。二阶微分方程一阶微分方程三阶微分方程 一阶微分方程的表达通式为 n 阶微分方程的表达通式为或或第一节 微分方程的基本概念8 定义 若微分方程中出现的未知函数及其导数的次数均为一次,则称之为线性微分方程;否则,称之为非线性微分方程。定义 代入微分方程后,能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。二阶线性微分方程一阶线性微分方程三阶线性微分方程二阶非线性微分
4、方程一阶非线性微分方程第一节 微分方程的基本概念 又如 ,通解为 例如 ,通解为9 又如 为 的特解。例如 、,均为 的特解;定义 确定了微分方程通解中的任意常数以后的解(即不含任意常数的解)称为微分方程的特解。定义 若微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称之为微分方程的通解。第一节 微分方程的基本概念10 例7-3 验证:函数 是微分方程 的解。解 求出所给函数的导数:将上面两个表达式代入微分方程左端,得方程成为恒等式,因此所给函数是微分方程的解。第一节 微分方程的基本概念11 定义 要得到微分方程的特解,需要给定一些条件,用来确定通解中的任意常数,
5、这些条件统称为微分方程的定解条件。微分方程与定解条件一起称为微分方程的定解问题。定义 一类重要的定解条件是给定微分方程中的未知函数及其各阶导数在某一点处的取值,这种定解条件称为微分方程的初始条件。带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题。一阶微分方程的初值问题为第一节 微分方程的基本概念12 定义 微分方程的特解的图像是一条曲线,称为微分方程的积分曲线。二阶微分方程的初值问题为 一阶微分方程初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点 的那条积分曲线。二阶微分方程初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点 且在该点处的切线斜率为 的那条积分曲线。第二节 一阶微分方程第二节 一阶微分方程 一阶
6、微分方程也可以写成如下的形式:或(其中 )本节讨论几种特殊的一阶微分方程的解法。第二节 一阶微分方程15一、可分离变量的微分方程 定义 形式为的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,其中 f(x)、g(x)都是连续函数。可分离变量的微分方程的求解过程如下:首先,分离变量,得这种形式称之为已分离变量的微分方程。然后,两端积分,得第二节 一阶微分方程16 设 是 的一个原函数,是 的一个原函数,则微分方程一、可分离变量的微分方程的通解为这就是微分方程的隐式通解。第二节 一阶微分方程17一、可分离变量的微分方程 例7-4 求微分方程 的通解。两端积分则微分方程的通解为 解 此方程是可分离变量的,分离
7、变量得 得 从而 第二节 一阶微分方程18一、可分离变量的微分方程 例7-5 求微分方程 满足 的特解。两端积分得 解 方程分离变量得 令 C=2C1,则原方程的通解为将初始条件 x=3 时 y=4 代入上式得 C=25,所以原方程的特解为第二节 一阶微分方程19一、可分离变量的微分方程 例7-6 在商品的销售预测中,销售量 x 是时间 t 的函数,即 x=x(t)。如果商品销售的增长速度与销售量 x 和销售接近饱和程度 x 之积成正比,求销售函数即 x=x(t)。解 商品销售的增长速度即销售量对时间的变化率 ,由题意分离变量得两端积分(其中 k 是比例常数)第二节 一阶微分方程令 ,则销售函
8、数为20一、可分离变量的微分方程得整理得,即第二节 一阶微分方程21二、齐次微分方程 定义 如果一阶微分方程可化成形式为的方程,则称之为齐次微分方程,简称齐次方程。比如是齐次方程,因为它可化为即第二节 一阶微分方程22二、齐次微分方程 齐次方程的求解:作变量代换,即 y=xu,于是代入原式得即可分离变量的方程分离变量得两端积分后,再把 u 带回便得齐次方程的通解。第二节 一阶微分方程23二、齐次微分方程 例7-7 求微分方程 的通解。解 微分方程中变量不可分离,于是变形得 令 ,即 y=xu,于是代入原式得即第二节 一阶微分方程24二、齐次微分方程分离变量,得两端积分,得整理得将 代回,得原方
9、程通解为第二节 一阶微分方程25 变量代换是求解微分方程的一种常用方法,有些微分方程可以经过适当的变量代换转化为可分离变量的微分方程,但所取变量代换的技巧性较强,没有一定的规律,只能通过练习达到熟能生巧的目的。下面仅举一例。二、齐次微分方程 解 令 u=x+y,则 y=u x,将其代入方程,得 例7-8 求微分方程 的通解。即第二节 一阶微分方程26二、齐次微分方程分离变量,得两端积分,得将 u=x+y 代回并整理,得原方程通解为或第二节 一阶微分方程27三、一阶线性微分方程 定义 形式为 如的微分方程称为一阶线性微分方程。当 Q(x)=0 时上式称为齐次的;当 Q(x)0 时上式称为非齐次的
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