《新编高等数学》课件1高等数学-第一章 函数.pptx
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1、1函数及其表示法2函数的特性3初等函数第一节 函数及其表示法第一节 函数及其表示法3 函数的概念是德国数学家狄利克莱在1837年抽象出的,至今仍为人们易于接受,并且较为合理的函数概念。定义 设 x 和 y 是两个变量。D是一个给定的数集,如果对于每个数 x D,变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作因变量自变量 y=f(x)数集 D 叫做这个函数的定义域。对应的 y 值的变化范围叫做函数的值域,记作第一节 函数及其表示法4 由函数的定义可以看出,函数概念有两个要素:定义域和对应法则。如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,则这两个函数就是相同的,否则是不同的
2、。求函数定义域的常见方法:分式的分母不为零;偶次根式中被开方数非负;对数的底数大于零且不等于1,真数大于零;实际问题要考虑使问题有实际意义;若函数由多个式子表示,求出它们的交集。第一节 函数及其表示法5例1-1 求下列函数的定义域:(1)解:由解得所以函数定义域为 (2)解:由解得所以函数定义域为 第一节 函数及其表示法6求函数解析式常见方法有定义法、待定系数法、换元法、配凑法。函数的表示方法一般有三种:公式法,图示法,表格法。公式法也叫解析法,常用于理论研究,是我们使用最多的方法。例1-2 求 ,求 。解:令 ,则 ,且由 得 。将 代入 中,得 所以 ,注意:利用换元法时要考虑新变量的取值
3、范围。第一节 函数及其表示法7 例1-3 函数 y=x2,定义域 D=(,+),值域 W=0,+)yxy=x2OxOy=x3y 例1-4 函数 y=x3,定义域 D=(,+),值域 W=(,+)第一节 函数及其表示法8 例1-5 函数 ,定义域 D 和值域 W 都是除去数 0 之外的全体实数,图像为等轴双曲线。yxOOyxy=|x|例1-6 函数 ,这是绝对值函数,定义域 D=(,+),值域 W=0,+)第一节 函数及其表示法9 例1-7 符号函数 定义域 D=(,+),值域 W=1,0,1y=sgn x1-1xyO第一节 函数及其表示法10 例1-8 分段函数:在自变量的不同变化范围中,用不
4、同的解析式表示的函数。分段函数是定义域上的一个函数,不是多个函数,分段函数需要分段求值,分段作图。y=x2-1y=2x-1yxO1-1-1第二节 函数的特性第二节 函数的特性121.函数的有界性 定义 设函数 y=f(x)的定义域为D,区间 。如果存在正数 M,使得对于任意 x I,恒有则称函数 f(x)在区间 I 上有界;如果这样的 M 不存在,则称函数 f(x)在区间 I 上无界。y=f(x)XM-MyxoxM-MyoX有界无界第二节 函数的特性13 显然,如果函数 f(x)在区间 I 上有界,使上述不等式成立的常数 M不是唯一的,有界性体现在常数 M 的存在性。函数的有界性依赖于区间,例
5、如:在区间(1,2)内有界,而在区间(0,1)内无界。函数 函数的有界性还可以表述为:如果存在常数 M1、M2,使得对于任意 x I,恒有则称函数 f(x)在区间 I 上有界,M1 称为函数 f(x)在区间 I 上的下界,有界,M2 称为函数 f(x)在区间 I 上的上界。第二节 函数的特性142.函数的单调性 定义 设函数 y=f(x)的定义域为D,区间 。如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2,当 x1 x2 时,恒有则称函数 f(x)在区间 I 内是单调增加的(简称递增);如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2,当 x1 0,a 1)称为指数函数。其定义域为(,+),值域
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