数苑趣谈.dec.pdf
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1、数苑趣谈万精油 著天元数学文化丛书数苑趣谈万精油著份号也鼠忌北京内容简介把数学思维应用到日常生活中可以比较容易看到事物的本质。这里所说的数学思维并不是具体的解决数学问题、证明或运算,而是数学中的逻辑思路、推理方法的一般应用。数学思维是一种生活习惯。这本书收录了作者多年以来的数学杂文,以讲故事的形式展现生活中与数学有关的趣事、处理方法,比如面试中的数学问题,赌场里的数学思路,或者电影中的逻辑问题等等。昕故事,不需要太多数学基础,但相信读了这些文章,对读者养成数学思维的习惯会有帮助。本书可供所有对数学和数学文化感兴趣的读者阅读,也可供数学教育工作者参考。图书在版编目(CIP)数据数苑趣即万精油著一
2、北京:科学出版社,2021.8(天元数学文化丛书)ISBN 978-7-03-068812-5 l数.II万.1H.数学-普及读物W(01-49 中国版本图书馆CIP数据核字。021)第4073号责任编辑王丽平孙翠勤/责任扶对杨聪敏责任印制吴兆东/封面设计无板书装i-t(http:/www.global-sci.org/皿.c)于2010年正式创刊,刊物近十年的发展比我们开始的预测还要好,这主要得益于刊物有一个小而精的作者队伍。记得创刊号的文章只有少数的作者不是编委,非编委作者里面就有此书作者游志平博士,他贡献了两篇文章:(坐地日行八万里一一近代数学在航天飞行中的应用和数学史上的一桩错案。当然
3、按照游博士一贯的风格,他的文章用的是笔名:万精油。志平在数学文化的前七八年中,几乎每期都有文章,并长期主持了数学趣谈这个栏目。大概一两年前,他告诉我想休息一两年,我觉得合情合理,正好他也可以静下心来,把这几年的心血整理成书。因为有马拉松、羽毛球、围棋这些爱好,多点富裕时间对他来说并不容易。因此,今天此书的出版,也是他暂时停笔数学文化的一个副产品。同时我很高兴地看到此书的很多文章都出自志平博士为数学文化写的文章。数学文化目前已经催生了三本书,卢昌海的黎曼猜想漫谈(清华大学出版社,2012年),蒋迅、王淑红的数学都知道(北京师范大学出版社,2017年),以及即将由科学出版社出版的志平博士的大作。常
4、言道z以文会友。因为办刊,我结识了许多数学文化方面的写手,包括志平博士。记得四五年前,我在哈佛培训的时候,利用周末去他在波士顿的家里拜访,得到志平夫妇的热情接待,他们还带我去波士顿一家品牌川菜馆美餐了一顿。我们还有在湖南衡山相会的美好记忆。办刊的同时能够交友,这是人生的幸事。志平四川太学数学系毕业,是中国科学院数学研究所硕士,美国马里兰大学博士,他数学根基雄厚,理解问题深刻、独到,对复杂问题的描述深入浅出,再加上行文流畅、文笔幽默,使得此书有很强的可读性。我强烈推荐此书给广大的数学爱好者,我深信大家通过此书一定能享受到阅读数学的乐趣!汤涛中国科学院院士北京师范大学香港浸会大学联合国际学院202
5、1年1月10日从1993年开始,我周万精袖这个笔名在网上发表文章,小说、杂文、游记、科普,各种类型都有。20多年来,累计数百篇。由于我的专业是数学,我的文章有相当一部分都与数学有关:数学科普、数学历史、数学大会报道、数学札记等。不少文章被到处转发,两年前有出版社与我联系,说是要把我这些文章中与数学有关的收集起来,出一本数学科普杂文集。我当时觉得可行性不大,主要是觉得我写文章没有什么规范,想到什么写什么,没有主干,很难把这些东西融合在一起。最近我的大学同学建立了一个微信群,毕业30多年的同学有很多都不了解彼此近来的动向。我在群里贴了儿篇我过去的文章,算是做一个自我介绍。没想到反响很好,好几个同学
6、建议我把这些文章收集在一起出一个集子,认为这些东西都与数学有关,可以说数学就是它们的主干,理工科的大学生及毕业生、喜爱数学的高中生都应该会喜欢这些文章。如此看来,这些文章还是有一定市场的。于是我开始从我的文章中挑出一些与数学相关的文章,把它们归类到一起。选出来的文章分几大类。近期的文章好些都是这些年我在数学文化杂志当特邀作者时写的,比如三生万物枪打出头鸟等。另一类是我在网络杂志国风办灵机一动专栏时的系列文章。其他就是这些年零散写的,太部分部贴在我自己的网站和新语丝网站的读书论坛上,比如坐地日行八万里)人机对话等,其中,坐地日行八万里获新语丝科普文学奖。数学文化与国风的文章都有少许删节和改动,使
7、得它们从那些系列中独立出来。其他文章基本维持原样。许多文章都写于将近20年前,好在数学的东西几百年也不会过时,所以,太部分文章可以不做任何改动。本书的前五篇总共收集了40篇文章,凑出一个10的倍数。最后一篇是我的获奖小说墨绿。本来不应该把墨绿放在以数学杂文为主的集子里,现在把它归了进来,一方面因为它讲到许多人工智能的东西,许多读者告诉我,他们读墨绿很大程度是把它当科普文章在读,甚至有研究计算机围棋的网站把墨绿长期置顶,并介绍说任何想研究计算机围棋的人都应该先读一下墨绿。另外,集子里的人机对话提到的许多东西都与墨绿相关,我们可以把它看成人机对话的附录。万精油2020年12月28日丛书序序前言。第
8、一篇科学普及一一数学.统计、计算机/11.1坐地日行J万里一一近代数学在航天飞仔中的应用/31.2人机对话/71.3数学与选举/141.4两亿零两年的恐龙/171.5 降维攻击/211.6扬长避短一一极小极大:-p算法/野。第二篇灵机一动一一趣味题目背后的数学/352.1三生万物/372.2枪打出头鸟-入决斗问题越谈/甜2.3装球问题/四2.4 斐被那契和他的兔子们/522.5-个有趣的数学扑克滋戏/552.6 于无声处听惊雷/592.7关于趣味数学/61数苑l趣谈viii。第二篇开卷有益一一评论汇集/633.1 书评:打赢庄家)/65 3.2 白天鹅的反击书评:黑天鹅)/71 3.3 作家笔
9、下的数学与数学家/763.4 讽刺幽默大师:汤姆雷尔/79 3.5 书评:B C,2人:A C B,2人:B C A,4人:CBA。如果选举规则是每人只选一个人?根据上面列出的表?我们可以看出A会赢。只选一个人的结果是ACB(得票依次是5,4,2)。如果选举规则是每人可以选两人,然后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选),我们可以看到其结果是BCA(得票依次是9,8,5)。这个例子说明,同样的选民,同样的意向7因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意向采用Borda加权(起始于1770年)。对每个意向表,第一名得两分,第二名得一分。最后把每个
10、人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个Borda加权,我们得出另一个不同的结果CBA(依次得分是12,11,10)。如果用另外的加权方法?我们还可以得出别的不同结果。同样的意向表,不同的加权,到底会产生多少个不同的结果?有定理说:对N个候选人,存在一个意向表使得不同的加权会产生(N-l)(N-1)!个不同的结果。显然,对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外3还要求最后一名的权是0。在这种条件下,如果有10个候选人(比如美国的总统初选),同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况7实际选举出现这14 第一篇/科学普及
11、一一数学、统计、计算机种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说:如果有三个候选人,他们的支持度差不多(同等的随机分布),则有大于三分之二的可能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。三分之二可不是一个小数,比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候,选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。以今年为例,如果把全体美国人的意向列一个意向表,我们几乎可以肯定,不同的规则会产生不同的结果。也就是说,对这个意向表不同的加权可以产生Clinton赢,或者Obama赢,或者McCain赢。这种现象并不只在选总统的时候出现,在日常生活中也会冒出来,甚至影响到
12、你自己。比如你去面试一个工作,总共四个面试者,A,B,C,D。四个人每个人做一个报告。昕报告的一共30个人。听完报告后这30个人给出各自的意向表,结果如下:3人:A C D B,6人:A D C B,3人:B C D A,5人:B D C A,2人:C B D A,5人:C D B A,2人:D B C A,4人:DCBA。假设你是D,根据这个意向表,你就没有戏了。因为只有一个位置,所以只有一个人能得到。按第一票算,其次序是ABCD(得票依次是9,8,7,6)。显然A胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候,C打电话来说他弃权1因为他已经接受了另一个工作。初看起来,C排第三,他的弃权对只选一
13、个人的结果不会有影响。其实不然,如果你把上面的意向表中的C都去掉,你会发现结果完全不同了。因为C的7票有2票给了B,5票给了你(D)。最后的结果是DB A(得票依次是11,10,9)。如此的例子还有很多,单就上面的这个例子看,任何一个人弃权都会改变结果的次序。对这样的混乱现象有人用混沌来形容。最后再回到开始的那句话:在竞选人实力差不多的情况下,选举结果是对选15 数苑l趣谈举规则的反映,而不一定是对选民意向的反映。(2008年4月17日)16 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机1.4 两亿苓两年的恐龙晚上随意翻换电视频道时看到一个节目叫十的军方(Power of Ten)。这节目是让参加者
14、回答一些问题,问题的答案都是百分数的形式。比如,有多少比例的美国人认为电视里放的职业摔跤是真的?或者,有多少比例的美国人认为应该允许摩门教徒实行他们的多妻制?等等。参加节目的一般是两人7每人给一个答案7谁的答案更接近真实答案谁赢,然后是下一个问题。所谓真实答案就是节目主持者用同样的问题事先问随机抽样的一百个美国人,得出一个百分比。我这个人对数字方面的信息特别感兴趣,这个节目一下就抓住我,于是停止换台,继续看下去。有一个问题问:美国人中有多少比例的人与美国总统握过于?如果让我来答,我肯定答小于1%0让我惊讶的是两个参赛者一个答8%,另一个答9%,我觉得很不可思议。更让我惊讶的是,节目公布的真实答
15、案竟然是11%。让我们来粗略地估算一下:美国现有人口3亿,3亿的11%等于3300万。如果总统每天与1000人握手,那他要花90年的时间才能握完这些手。总统竞选期间,他或许有可能每天与1000人握手。当上总统后,如果每天与1000人握手,那他就不要干别的事了。就算把所有活着的前任总统们加上,也就是说可以同时有四五个总统,每个总统平均每天也要与几百个人握手,仍然是不现实的事。从另一个角度看,11%相当于每十个人中就至少有一个与美国总统握过手。我认识的美国人不下1000人,从来没听说谁与美国总统握过手。如果用我的样品做假设检验7不要说11%,就是1%也过不了。我把这个问题告诉我的朋友,朋友说,这有
16、什么稀奇的,美国大众对数字从来都是稀里糊涂的。我在美国生活了二十多年,对这美国大众的数字或算术水平真是不敢恭维。商店门口如果没有收银机,我想绝大多数收钱的人是算不清楚账的。有时利用排队时间,我用心算把账(包括税)算到精确到分,然后把精确到分的零钱一起给收钱的人。他们算出账后发现我给得正好,都以看外星人的眼光看我。相比之下,中国的商贩就不得了。葡萄一块四一斤,我捡出两大枝给他,他边称边说:两斤八两,二块九毛二?给你加几颗,四块钱就不用找了。说话都没有停顿。不单是美国大众,有些大学生也缺乏基本算术能力。我从前教微积分的时候,一个学生在把答案从2.4小时换算成分钟的时候算错了,我扣了他一分。他来与我
17、吵,说是这道题微积部分他是做对了的(2.4小时是对的),只不过换算成分钟的时候算错了。还说他算错的原因是我不让他们考试的时候用计算器。更有甚者,有17 数苑l趣谈个学生居然不转换,直接就把两个答案加在一起,2.4小时加18分钟等于20.4。我在他卷子上写了个20.4what?,扣了他五分。他跑到我办公室来大吵,说是主要答案都对,只不过加错?没有理由扣五分(总共十分)。我让他看我办公室墙上的一张照片。照片是立在美国加利福尼亚州一个小镇入口的牌子(图1),上面写着,New Cuyama 人口562,海拔2150,建镇于1951,总和4663。图1一个小镇入口的牌子他看后说,我不是那么笨,我知道不同
18、的东西不能加,相同的东西要把单位统一以后才能加(看来,来找我以前做了点家庭作业)。我本来想告诉他,统一单位后也不一定就可以加,但看他一脸的迷惑,我没有继续说下去,本来想给他讲的一个与此有关的笑话也硬给压了回去。相同的东西统一了单位以后就总是可以相加吗?我压在肚子里的笑话讲的就是这么一个问题。说是有一个博物馆的工作人员在给一群参观者解说一个恐龙骨架。她说:这个恐龙的年龄是两亿零两年。有个人问她怎么能知道得如此精确。她说:我刚到这里工作的时候,别人告诉我说这个恐龙的年龄是两亿年,我已经在此工作了两年,所以我知道它的年龄是两亿零两年。18 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机你或许要说,这只是一个
19、笑话,稍微有点常识的人不会犯这种明显的错误。那我现在就来告诉你一个真实例子。三年前,在互联网的围棋新闻组里,有人贴了一个关于世界围棋人口的帖子。在看这个帖于前,我先介绍一下这个新闻组。互联网的围棋新闻组是一些围棋爱好者(主要是美国和欧洲)讨论围棋的地方。西方的围棋爱好者组成与中国不一样。在中国,比如成都这种围棋爱好者众多的城市,下围棋的什么样的人都有。茶馆里、公园里到处都可以看到人下围棋。在西方,围棋没有那么普及,下围棋的主要以受过高等教育的人为主。几乎所有我认识的会下围棋的美国人都是在读大学或研究生时才知道围棋的。所以,在这围棋新闻组发帖或读中占的人应该说都是受过高等教育的。这个关于世界围棋
20、人口的帖子就是在这样一群人中贴出的。帖子说,通过努力,他在网上收集到各国围棋人口的数据。然后做了一个表格列出各国围棋人口。大致如下:中国10000000(10百万)韩国9000000(9百万)日本一一7000000(7百万)古巴110 智利一-30美国一-15000最后他把这些数加起来,得到了世界围棋总人口26902200。因为每个数据都是各国官方网站上的准确数据,所以大家都认为其最后的结果很可靠。而且还有不少跟帖讨论,没有人觉得有什么不对。所以我前面说这种现象并不只出现在笑话中。我实在忍不住,在他们的讨论帖后面跟了一个帖子泼冷水。我说:中国、韩国以及日本的数据都是以百万为单位,也就是说小于0
21、.5个百万的数据就被忽略了。在这些数据后面去加上别的国家的110和30之类的东西没有任何意义。如果我们只是要统计世界围棋人口的话,只需要把中国、日本、韩国这三个国家的数据加在一起就行了,最多再加上一百万用来包括世界其他所有地方的围棋人口。这样得出的结果的意义不会比上面精心统计出来的结果差。为了不激起众怒?我19 数苑l趣谈在后面又加了几句:当然,这并不是说别的国家的数据就不重要。恰恰相反,数字小的国家反倒更重要。因为对中国、日本和韩国来说,围棋人口已经饱和,没有太多的发展空间。而那些数字很小的国家,对围棋在世界的普及上却有很大的潜力J像这种把不同数量级的数加在一起的现象,在别的地方也经常出现。
22、比如对越战?韩战死亡人数的报道,有些国家精确到个位数,有的国家却以万为单位。而我们却总可以看到各种报道把这些数据加在一起。从统计意义上来说,如果一个数小于另一个数的误差范围,那么这两个数相加就没有意义,小于误差范围的差别也没有统计上的意义。因为其中任何一项的误差就可以抵消这样的差别。遗憾的是,许多人还是用这种没有意义的小差别来做重大问题的决定。最著名的例子就是2000年的总统选举。布什和戈尔在佛罗里达的选票相差只有1000多票,有一次重新数票后甚至说相差不到500票。这500票在六百万张选票中只占不到万分之一,而事后证明各地数票(机器数票与人工数票)的误差都大于千分之一?有的地方甚至大于1%。
23、也就是说这500票的差别远远小于数票误差。然而,就是这远远小于数票误差的差别决定了谁当美国总统。过去这七八年,美国人民(或者全世界人民)都为这个结果付出了沉重代价。眼看这就要扯到政治问题,还是就此打住。仔细观察,你会注意到这种数字问题无处不在,无时不有。如果你们家的财政总管要把年度预算精确到元,你可以告诉他?小心两亿零两年的恐龙从博物院跳出来找他算账。(2007年9月26日)20 第一篇/科学普及一一数学、统计、计算机1.5降维攻击前一阵的一个大新闻是中国科幻作家刘慈欣的科幻小说三体获得2015年的雨果奖(图1)。雨果奖是由国际科幻协会颁发的科幻成就奖,被普遍认为是科幻界的诺贝尔奖。截止到20
24、16年己颁发了63届。但到刘慈欣获奖以前,不仅是中国,整个亚洲还没人得过这个奖。刘慈欣是第一人?所以应该算是一个大新闻。【叫fI.f啪监裂中回科幻银河奖将到¥在夜奖作品如Jl!欣 帮图1(三体(图片来源于网络)在小说三体中,刘慈欣引进了一个降维攻击的概念,把高维的东西降到低维来打击。通过低维空间解决高维空间的问题是数学家常用的手段。刘慈欣加上科幻的内容后有了新意,很能抓眼球,所以我们借用了这个概念来做文章主要是想介绍数学上通过把高维的东西映射到低维来解决的一些于法和例子。21 数苑l趣谈讲数学以前先讲一个笑话。百度网站有许多贴吧,各种群体、各种话题都有自己的贴吧。比如军事吧、足球吧、围棋吧?或
25、者成都吧、深圳吧等等。三体迷们想建立自己的贴吧。可惜,三体吧这个名字被北京市第三体育运动学校的校友们占了。如果是个人,名字被占了或许就在名字后加一个后缀之类的,另起一个名字就算了。可是三体迷们不肯将就,一定要把三体吧这个名字夺回来。于是一大堆三体迷空降到原本属于北京第三体育学校的u三体吧。如果在现实生活中打架,(三体迷们肯定不是体育学校学生的对手。但是,在网上拼杀7从三维世界降到两维的荧光屏上,体校的学生就不是他们的对于了。很快贴吧里的各种话题都以小说三体为主,原来的体校学生基本上插不上话,据说现在己经完全被三体迷们占领。用成语来说这就叫鸪占鹊巢。用三体的语言来说?这就叫降维攻击。回头再来讲数
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