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1、专题02 小题考法(二)(圆锥曲线的方程与性质)目录题型一:圆锥曲线的定义及标准方程题型二:圆锥曲线的几何性质题型三:圆锥曲线与圆、直线的综合问题应用体验 精选好题做一当十 题型一:圆锥曲线的定义及标准方程1(2021全国高三月考(理)已知是椭圆上一点,为椭圆的左,右焦点,且,则( )A1B3C5D9【答案】B【详解】对椭圆方程变形得,易得椭圆长半轴的长为5,由椭圆的定义可得,又因为,所以.故选:B.2(2021四川自贡三模(文)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆的中心在原点,焦点,在轴上,其面积为,过点的直线与椭圆交于点,且的周长
2、为32,则椭圆的方程为( )ABCD【答案】B【详解】焦点F1,F2在y轴上,可设椭圆标准方程为,由题意可得,即,F2AB的周长为32,4a32,则a8,故椭圆方程为故选:B3(2021江苏省如皋中学高三开学考试)双曲线的两个焦点为,双曲线上一点到的距离为11,则点到的距离为( )A1B21C1或21D2或21【答案】B【详解】不妨设,分别为双曲线的左右焦点,当P在双曲线的左支时,由双曲线的定义可知,又=11,所以,当P在双曲线的右支时,由双曲线的定义可知,又=11,所以,又,所以右支上不存在满足条件的点P.故选:B.4(2021全国高三专题练习(文)双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方
3、程为( )ABCD【答案】B【详解】,则,则双曲线的方程为,将点的坐标代入双曲线的方程可得,解得,故,因此,双曲线的方程为.故选:B5(2021广西高三月考(文)抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线上一点,垂足为,若直线的斜率为,则抛物线方程为( )ABCD【答案】A【详解】直线AF的斜率为, 抛物线的定义知,PAF为等边三角形,在RtAKF中,抛物线方程为故选:A6(2021江西贵溪市实验中学高三月考)已知抛物线上的点到其焦点的距离为,则该抛物线的准线方程为( )ABCD【答案】B【详解】由抛物线的方程,可得其准线为,又由抛物线上点到其焦点的距离为,则到准线的距离为,则有,解得:,即抛物线的准
4、线方程为;故选:B.7(2021河北石家庄二模)抛物线经过点,则到焦点的距离为( )ABCD【答案】B【详解】在抛物线上,解得:,抛物线标准方程为,.故选:B.8(2021陕西长安一模(理)一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为( )ABCD【答案】D【详解】定圆的圆心,半径为2,设动圆圆心P点坐标为(x,y),动圆的半径为r,d为动圆圆心到直线的距离,即r,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,所以,化简得:动圆圆心轨迹方程为故选:D提分技巧(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线的距离处理(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”所谓
5、“定型”,就是指确定类型;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.题型二:圆锥曲线的几何性质1(2021浙江宁波高三月考)如图,椭圆的左,右焦点分别是,正六边形的一边的中点恰好在椭圆上,则椭圆的离心率是( )ABCD【答案】B【详解】设的中点为,连接,则,因为,所以,在中,由余弦定理得,所以,因为,所以,所以,故选:B2(2021湖南郴州高三月考)已知点是椭圆:上一点,点是椭圆的左右焦点,若的内切圆半径的最大值为,则椭圆的离心率为( )ABCD【答案】B【详解】由题意可得:,设的内切圆半径为,所以,因为的内切圆半径的最大值为,所以因为,所
6、以,可得,所以椭圆的离心率为,故选:B.3(2021吉林长春高三月考(理)设,是双曲线的左、右焦点,是坐标原点过作的一条渐近线的垂线,垂足为若,则的离心率为( )ABCD【答案】B【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为,则,在中,在中,即,e=2,故选:B4(2021新疆克拉玛依市教育研究所模拟预测(文)已知双曲线的左焦点为,过点作一条渐近线的垂线,垂足为,的面积为1,则该双曲线的离心率为( )ABC2D【答案】B【详解】解:由题意,设双曲线的一条渐近线方程为:因为直线与渐近线垂直,即又且,所以直线的方程为:即设,联立直线与渐近线方程得解得因为OPF的面积为1,即,又所以化简得,解得所以所以该
7、双曲线的离心率为故选:B.5(2021江西赣州二模(理)抛物线与椭圆交于,两点,若的面积为(其中为坐标原点),则( )A2B3C4D6【答案】B【详解】由抛物线与椭圆的对称性知:关于y轴对称,可设,的面积为,而,由上整理得:,解得,则.故选:B.6(2021全国高三专题练习)已知是抛物线:上一点,是抛物线的焦点,若,是抛物线的准线与轴的交点,则ABCD【答案】B【详解】 由题意得,在抛物线上一点,使得,则点的坐标为,又抛物线的准线方程为,所以准线与轴的交点,则,所以在直角中,所以,故选B提分技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于的方程(组)或不等式(组),再根据的
8、关系消掉得到的关系式.建立关于的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.题型三:圆锥曲线与圆、直线的综合问题1(2021天津市武清区杨村第一中学高三月考)已知是双曲线:的右焦点,过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点,过作一条渐近线的垂线,垂足为,若,则的标准方程为( )ABCD【答案】A【详解】设,代入双曲线方程可得,所以,不妨取一条渐近线,则到直线的距离,因为,所以,解得,所以双曲线的方程为,故选:A2(2021江西贵溪市实验中学高三月考)已知斜率为1的
9、直线过椭圆的右焦点,交椭圆于两点,则弦的长为( )ABCD【答案】C【详解】解:由椭圆得,所以,所以右焦点坐标为,则直线的方程为,设,联立,消y得,则,所以.即弦长为.故选:C.3(2021江西高三月考(文)给定抛物线,是其焦点,直线,它与相交于两点,如果且,那么的取值范围是( )A BCD【答案】C【详解】直线与抛物线方程联立得:,因为直线与抛物线相交于A,B两点,所以,设,因此有,且,由,代入中得:且,解得:,函数在时单调递减,所以,因此,所以或故选:C4(2021江苏一模)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,则等于()A2B4C6D8【答案】D【详解】解:抛物线方
10、程为,抛物线的焦点为,准线为设线段的中点为,则到准线的距离为:,过、分别作、与垂直,垂足分别为、,根据梯形中位线定理,可得,再由抛物线的定义知:,故选:D.5(2021江西景德镇一中高三月考(理)设抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为.设,与相交于点.若,且的面积为,则的值为( )ABCD【答案】D【详解】解:如图所示,所以轴,所以四边形为平行四边形,解得,代入可取,解得故选:6(2021全国高三专题练习(文)已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为,则该双曲线的离心率为( )ABCD2【答案】B【详解】设弦的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则, 两式作差整理得:
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