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1、第4课时利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题考点1分离参数(构造函数)解决恒成立问题综合性(2020全国卷)已知函数f (x)exax2x.(1)当a1时,讨论f (x)的单调性;(2)当x0时,f (x)x31,求a的取值范围解:(1)当a1时,f (x)exx2x,f (x)ex2x1.由于f (x)ex20恒成立,故f (x)在R上单调递增,注意到f (0)0,故当x(,0)时,f (x)0,f (x)单调递减,当x(0,)时,f (x)0,f (x)单调递增(2)由f (x)x31,得exax2xx31,其中x0.当x0时,不等式为11,显然成立,符合题意当x0时,得a.记g(x),
2、g(x).令h(x)exx2x1(x0),则h(x)exx1,h(x)ex10,故h(x)单调递增,h(x)h(0)0,故函数h(x)单调递增,h(x)h(0)0.由h(x)0得exx2x10恒成立,故当x(0,2)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(2,)时,g(x)0,g(x)单调递减因此,g(x)maxg(2).综上可得,实数a的取值范围为1分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题,是指在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的最值就可以解决问题2求解含参不等
3、式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法,先转化为f (a)g(x)(或f (a)g(x)对xD恒成立,再转化为f (a)g(x)max(或f (a)g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题已知函数f (x)ln xax21.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若a0,xf (x)k(x1)在(1,)上恒成立,求整数k的最大值解:(1)f (x)2ax(x0)当a0时,f (x)0,则f (x)在(0,)上单调递增当a0时,由f (x)0,得0x,则f (x)在上单调递增;由f (x),则f (x)在上单调递减综上,当a0时,f (x)在(0,)上单
4、调递增;当a0时,f (x)在上单调递增,在上单调递减(2)由题意,x(ln x1)k(x1)在(1,)上恒成立,即k1)设g(x)(x1),则g(x).令h(x)xln x2(x1),则h(x)10,所以,h(x)在(1,)上为增函数因为h(2)ln 20,h(3)1ln 3ln0,所以h(x)在(1,)上有唯一实数根m(3,4),使得mln m20.当x(1,m)时,h(x)0.即g(x)在(1,m)上单调递减,在(m,)上单调递增,所以g(x)在xm处取得极小值,且g(m)m,所以km.由3m4,得整数k的最大值为3.考点2分离参数(构造函数)解决能成立问题综合性已知函数f (x)axe
5、x(aR),g(x).(1)求函数f (x)的单调区间;(2)若x0(0,),使不等式f (x)g(x)ex成立,求a的取值范围解:(1)f (x)aex,xR.当a0时,f (x)0,f (x)在R上单调递减;当a0时,令f (x)0得xln a.由f (x)0得f (x)的单调递增区间为(,ln a);由f (x)0得f (x)的单调递减区间为(ln a,)综上,当a0时,f (x)的单调递减区间为R;当a0时,f (x)的单调递增区间为(,ln a),单调递减区间为(ln a,)(2)因为x0(0,),使不等式f (x)g(x)ex成立,所以ax,即a.设h(x),则问题转化为ah(x)
6、max.由h(x),令h(x)0,得x.当x在区间(0,)内变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)h(x)0h(x)极大值由上表可知,当x时,函数h(x)有极大值,也是最大值,为h().所以a,即a的取值范围是.1含参数的能成立(存在型)问题的解题方法af (x)在xD上能成立,则af (x)min;af (x)在xD上能成立,则af (x)max.2含全称量词、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1A,对任意x2B使f (x1)g(x2)成立,则f (x)maxg(x)max;(2)任意x1A,存在x2B,使f (x1)g(x2)成立,则f (x)ming(x)min.
7、若存在x,不等式2xln xx2mx30成立,求实数m的取值范围解:因为2xln xx2mx30,所以m2ln xx.设h(x)2ln xx,则h(x)1.当x1时,h(x)0,h(x)单调递减;当10,h(x)单调递增因为存在x,m2ln xx成立,所以mh(x)max.因为h23e,h(e)2e,且2e40,所以hh(e),所以m3e2.考点3双参不等式恒成立问题应用性设f (x)xln x,g(x)x3x23.(1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对于任意的s,t,都有f (s)g(t)成立,求实数a的取值范围解:(1)存在x
8、1 ,x2 0,2使得g(x1 )g(x2 )M成立,等价于g(x1 )g(x2 )max M.因为g(x)x3 x2 3,所以g(x)3x2 2x3x .g(x),g(x)随x变化的情况如下表:x0 2g(x)00 g(x)3极小值1由上表可知,g(x)min g ,g(x)max g(2)1.g(x 1 )g(x 2 )max g(x)max g(x)min ,所以满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s,t ,都有f (s)g(t)成立,等价于在区间 上,函数f (x)min g(x)max .由(1)可知,在区间 上,g(x)的最大值g(2)1.在区间 上,f (x)xln x1恒成
9、立等价于axx2ln x恒成立,记h(x)xx2ln x,则h(x)12xln xx,h(1)0.当1x2时,h(x)0;当x0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增,在区间(1,2上单调递减,所以h(x) max h(1)1,即实数a的取值范围是1,)解双参不等式恒成立问题的方法和基本思想(1)x1D1,x2D2,f (x1)g(x2),等价于函数f (x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值,即f (x)ming(x)min(这里假设f (x)min,g(x)min存在)其等价转化的基本思想:函数yf (x)的任意一个函数值大于函数yg(x)的某一个函数值,但并不要求大于函
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