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1、专题05 数列的综合问题(答题指导)【题型解读】题型特点命题趋势从近几年高考试题来看,全国卷中的数列问题与三角函数问题基本上交替考查,难度不大对数列问题的考查主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,试题题型规范、方法可循.以数列为载体,综合不等式,考查推理与证明思想方法的应用,仍然是命题的关注点.题型一数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量运算求和问题关键在于分析通项的结构特
2、征,选择合适的求和方法,常考的求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等【例1】 Sn为数列的前n项和,已知an0,a2an4Sn3.(1)求的通项公式;(2)设bn,求数列的前n项和【答案】见解析【解析】(1)由a2an4Sn3可知a2an14Sn13.两式相减得aa2(an1an)4an1,即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0,所以an1an2.又由a2a14a13解得a11(舍去)或a13.所以是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列的前n项和为Tn,则Tnb1b2b3bn.【素养解读】 本例(1)中由已知直接
3、推导求出an的通项公式,体现了逻辑推理的核心素养;(2)中用裂项相消法求得bn的前n项和体现了数学抽象和数学运算的核心素养【突破训练1】 已知等差数列an的前n项和为Sn,若Sm14,Sm0,Sm214(m2,且mN*)(1)求m的值;(2)若数列bn满足log2bn(nN*),求数列(an6)bn的前n项和【答案】见解析【解析】(1)因为Sm14,Sm0,Sm214,所以amSmSm14,am1am2Sm2Sm14,设数列an的公差为d,则2am3d14,所以d2.因为Smm0,所以a1am4,所以am42(m1)4,解得m5.(2)由(1)知an42(n1)2n6,所以n3log2bn,即
4、bn2n3,所以(an6)bn2n2n3n2n2.设数列(an6)bn的前n项和为Tn,则Tn12132n2n2,所以2Tn1122322n2n1,得Tn122n2n2n1n2n1(1n)2n1.所以Tn(n1)2n1.【突破训练2】 (2019湖南十二校一联)已知数列an满足a11,a24,an22an3an1,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列an的前n项和Sn,求使得Sn212n成立的最小整数n.【答案】见解析【解析】(1)由an22an3an10得,an2an12(an1an)所以数列an1an是以a2a13为首项,公比为2的等比数列所以an1an32n1.所以当n2时,
5、anan132n2,an1an232n3,a3a232,a2a13.累加,得ana132n23233(2n11)所以an32n12.又当n1时,也满足上式,所以数列an的通项公式为an32n12,nN*.(2)由(1)利用分组求和法,得Sn3(2n12n221)2n3(2n1)2n.由Sn3(2n1)2n212n,得32n24,即2n8.所以n3,所以使得Sn212n成立的最小整数n4.题型二数列与函数的综合问题1数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类考题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选2数列与函数问
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