3.3.2 抛物线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册).docx
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1、3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线 范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴顶点离心率e 2.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|x1,|BF|x2,故|AB| .3
2、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系: 、 和 设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将ykxm代入y22px,消去y并化简,得k2x22(mkp)xm20.k0时,直线与抛物线只有 交点;k0时,0直线与抛物线 有 公共点0直线与抛物线 只有 公共点0直线与抛物线 公共点【小试牛刀】1抛物线关于顶点对称( )2抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心( )3抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同( )4抛物线y22px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p( )5抛物线yx2的准线方程为x( )【经典例题】题型一 抛物线性质的
3、应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2,则抛物线的方程为_(2)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|4,求抛物线的方程跟踪训练1 已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称
4、轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长题型二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程,则利用判别式判断方程解的个数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形:(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行;(2)直线与抛物线相切例2已知直线l:ykx1,抛物线C:y24x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点跟踪训练2若抛物
5、线y24x与直线yx4相交于不同的两点A,B,求证OAOB.题型三 中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y22px(p0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,跟踪训练3 过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB,恰被点Q所平分,求AB所在直线的方程题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离跟踪训练4 如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB的斜率为定值【当堂达标】
6、1在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4,2)B(4,2)C(2,4)D(2,4)2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y3若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴,若|AB|2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A B C D4设O为坐标原点,F为抛物线y24x的焦点,A是抛物线上一点,若4,则点A的坐标是()A(2,2)B(1,2)C(1,2)D(2,2)5过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条
7、C2条 D1条6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1x26,则|AB|_.7已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦,若|AB|4,则AB的中点的纵坐标是_8已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积等于时,求k的值9.已知yxm与抛物线y28x交于A,B两点(1)若|AB|10,求实数m的值;(2)若OAOB,求实数m的值10.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程【参考答案】【自主学习】x x y y x轴 y轴 (0,0)
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