《自动控制系统原理与应用》课件第4章.pptx
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1、单元四 根轨迹分析法和频域分析法学习目标学习目标(1)了解根轨迹的概念,会用根轨迹法分析系统性能。(2)了解频率特性的概念,会用频率曲线分析系统性能。(3)会用 MATLAB 绘制根轨迹及频率曲线。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1 根轨迹分析法根轨迹分析法4.1.1 根轨迹的概念根轨迹的概念自动控制系统的稳定性由它的闭环极点唯一确定。当闭环传递函数的极点均处于复数平面的左半平面时,系统绝对稳定。反馈控制系统的相对稳定性也与系统闭环传递函数极点在复数平面上的位置有关。单元四 根轨迹分析法和频域分析法以二阶系统为例,其极点就是系统的特征方程 s2+2 n s+2n=0 的根。如图 41 所示
2、,参数不同,方程的根也不同,不同的根对应的单位阶跃响应曲线也表现出不一样的稳态与动态性能。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 41 不同极点对系统新能的影响单元四 根轨迹分析法和频域分析法1948 年,伊万斯(W.R.EVANS)提出了直接由开环函数判别闭环特征根的图解法,解决了复杂系统的性能分析的难题,这就是著名的根轨迹法。所谓根轨迹,就是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。由于根轨迹图直观、完整,且可以推算出系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势,所以对研究及改善系统性能都具有重要意义。其分析问题的思路如图 42 所示。单元四 根轨迹分析法和频域
3、分析法图 42 根轨迹法的基本思路单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1.2 根轨迹绘制根轨迹绘制1.开开/闭环传递函数零极点表达式闭环传递函数零极点表达式图 43 所示为一个常见的负反馈控制系统,其开环函数为 G k s()=G(s)H(s)。开环传递函数中分子多项式方程的根称为开环零点,分母多项式方程的根称为开环极点。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 43 反馈系统框图单元四 根轨迹分析法和频域分析法为了直观获取自控系统传递函数的零点和极点,我们习惯性地将 n 阶负反馈控制系统的开环传递函数表达为以下零、极点形式式中,zi 为开环零点;p j 为开环极点;K g 为根轨迹增益。单元四 根
4、轨迹分析法和频域分析法闭环系统根轨迹增益也等于开环系统前向通路根轨迹增益。一般我们研究的就是 K g变化时的根轨迹。在根轨迹图中,“”表示开环极点,“”表示开环零点,实线表示根轨迹,箭头表示参数增加的方向。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例 41 在复平面上标出开环传递函数的零、极点。解解 由开环函数,求得零点 s=-1极点:s=0,s=-4,s=1j1所以,零极点分布图如图 44 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 44 例 41单元四 根轨迹分析法和频域分析法2.绘制根轨迹绘制根轨迹绘制根轨迹有两种常用方法,其中一种是伊文斯图解法。利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹是一种很实
5、用的工程方法,只需要依据几条规则做简单的计算,不需要求解系统特征方程。其绘制方法如下:1)连续性与对称性系统根轨迹的各条分支是连续的,而且由于特征方程的根为实数或共轭复数(包括一对纯虚根),所以根轨迹必然对称于实轴。单元四 根轨迹分析法和频域分析法2)根轨迹的分支数n 阶系统根轨迹的分支数为 n。开环传递函数为 n 阶,故开环极点和闭环极点数目都为n 个,当 K g 从 0+变化时,n 个根在 s 平面上连续形成 n 条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随 K g 的连续变化轨迹。注:根轨迹的分支数=系统的阶数。单元四 根轨迹分析法和频域分析法3)根轨迹的起点和终点系统的特征方程为即化简后可以
6、得到单元四 根轨迹分析法和频域分析法4)实轴上的根轨迹在 s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是,在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。假设一个特征根为 s1,若它右边的实数零、极点(开环)个数的总和为奇数,则 s1 位于根轨迹上。5)根轨迹的渐近线当特征根沿根轨迹无限远离原点或无限接近间断点时,即到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条根轨迹的渐近线。若 n m,当 K g 从 0+时,有(n-m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角为 、截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。单元四 根轨迹分析法和频域分析法其中,与实轴交点坐标为(,j0),且常见的渐近线如图 45 所示。单元
7、四 根轨迹分析法和频域分析法图 45 常见渐近线单元四 根轨迹分析法和频域分析法6)根轨迹的分离点和会合点若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开,则称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根(实根和共轭复数根),一般多出现在实轴上。分离点的求解在本书中不做要求。7)根轨迹的出射角和入射角出射角是指始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角。入射角是指止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角的求解在本书中不做要求。单元四 根轨迹分析法和频域分析法8)根轨迹与虚轴的交点随着 K g 的增大,根轨迹可能由 s 左半平面变到右半平面,系统会从稳定变为不稳定,根轨迹与
8、虚轴产生交点,即闭环特征方程出现纯虚根,出现临界稳定。由此根求解出的增益称为临界根轨迹增益。9)闭环极点的和当 n-m 2 时,开环极点之和=闭环极点之和=常数。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 46 例 42 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法例例 43 已知例 42 中根轨迹在实轴上的分离点为 s=-0.423,分离角为 90,试画出根轨迹图,并求临界根轨迹增益。解解 闭环特征方程为将 s=j 代入方程,舍去不可能的解,得 因此临界根轨迹增益为 6。根轨迹如图 47 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 47 例 43 根轨迹单元四 根轨迹分析法和
9、频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 8 例 4 4 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.1.3 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能由根轨迹分析闭环控制系统性能的一般步骤如下:(1)由给定参数确定闭环系统的零极点的位置;(2)分析参数变化对系统稳定性的影响;(3)分析系统的瞬态和稳态性能;(4)根据性能要求确定系统的参数;(5)对系统进行校正。单元四 根轨迹分析法和频域分析法1.稳定性稳定性由根轨迹在 s 平面的分布情况就可以分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于 s 平面左半部分,则说明系统是稳定的;如果根轨迹有一条或一条以上的分支全部位于 s
10、 平面的右半平面,则说明系统始终不稳定;如果根轨迹有一条或一条以上的分支有部分进入 s平面的右半平面,则说明系统是有条件的稳定,可以求出临界参数,为系统的设计和优化提供依据。单元四 根轨迹分析法和频域分析法例如,开环系统传递函数为其根轨迹如图 49所示,当 0 K g 14 和 64 Kg195 和 14 K g64 时,系统是不稳定的。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 9 根轨迹单元四 根轨迹分析法和频域分析法通过上述分析,可以得出以下两条结论:(1)开环放大系数 K 影响闭环极点分布;(2)K 与闭环极点一一对应,进而可确定系统稳定性及其他各项性能指标。单元四 根轨迹分析法和频域分析
11、法2.动态性能动态性能理论研究表明,系统的超调量、调整时间等动态性能指标与控制系统闭环传递函数极点的位置有关。首先,闭环极点越远离虚轴,系统调节时间就越小,快速性也越好。其次,闭环极点越靠近实轴,系统超调量就越小,系统稳定性也越高。单元四 根轨迹分析法和频域分析法单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 410 二阶系统极点分布单元四 根轨迹分析法和频域分析法分析动态性能时需要注意以下三点:(1)若非主导极点与主导极点实部比大于 5,且主导极点附近又无闭环零点,则非主导极点可忽略。(2)当主导共轭复数极点位于 =45 等阻尼线上,其对应最佳阻尼系数为 =0.707,系统的平稳性较好。(3)闭环零点可
12、以抵消或削弱附近闭环极点的作用。单元四 根轨迹分析法和频域分析法3.增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响已知系统开环传递函数增加-p=-2 或 z=-2,分别画出三幅零极点图,讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。图 411(a)为原系统的零极点分布图,图 411(b)为原系统增加极点后的零极点分布图,图 411(c)为原系统增加零点后的零极点分布图。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 411 开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响单元四 根轨迹分析法和频域分析法综上所述,增加开环零点对根轨迹的影响可以总结为以下四点:(1)改变了根轨迹在实轴上的分布。增加
13、开环零点会使根轨迹向左半 s 平面弯曲或移动,增加开环极点会使根轨迹向右半 s 平面弯曲或移动。(2)改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距。(3)可构成开环偶极子,改善系统性能。(4)根轨迹曲线向左偏移。单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2 频频 域域 分分 析析 法法4.2.1 频率特性频率特性对于一个稳定的线性定常系统,在其输入端施加一个正弦信号时,当动态过程结束后,在其输出端必然得到一个与输入信号同频率的正弦信号,其幅值和初始相位为输入信号频率的函数。对于不稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,其输出信号的瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始终存在。系统的稳态分量是无法观察到的,但
14、稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号。单元四 根轨迹分析法和频域分析法所以,可以将线性定常系统的正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比定义为幅频特性A(),相位之差定义为相频特性 ()。系统的频率特性就是指系统的幅频特性和相频特性,通常用复数来表示单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2.2 图示方法图示方法在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线,从频率特性曲线出发进行研究。这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线、幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线以及对数幅相曲线等。为例,我们可以根据相关定义作出几种常用的频率特性曲线,如图 412 图 414 所示。单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 412
15、幅相曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 413 幅频和相频特性曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法图 4 14 对数幅频特性和对数相频特性曲线单元四 根轨迹分析法和频域分析法4.2.3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据前面介绍了两种判断系统稳定性的方法,代数判据法是根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性,根轨迹法是根据特征方程式的根随系统参量变化的轨迹来判断系统的稳定性。本节介绍另一种重要并且实用的方法奈奎斯特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性,并能确定系统的相对稳定性。单元四 根轨迹分析法和频域分析法系统开环传递函数的频率特性称为开环频率特性。设系统的
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