【章概览】三角函数.docx
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1、三角函数章概览1本章的知识结构和研究脉络是怎样的?本章的知识结构如下图所示:三角函数是特殊的函数,与指数函数、对数函数、幂函数等并列,是函数的下位知识,因此本章是按照研究一类函数的路径展开的:分析实际问题,抽象得出概念、绘制函数图象、探索发现性质、函数应用等但是三角函数内容较多,关系较其他函数复杂,与其他函数相比,具体的路径又有变化首先在形成定义之前,需要将角的范围从0360拓展到任意角,并引入弧度制将角的大小用实数表示做好这些铺垫,才能学习三角函数的概念第二,三角函数的概念及其性质三角函数种类较多,高中要学习正弦函数、余弦函数和正切函数而且三角函数的定义不同于其他函数,是借助于单位圆给出的,
2、是几何定义因此借助于单位圆的几何性质可以找到三角函数的多重性质,包括:同角三角函数关系,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推论可见这些性质是圆的几何性质的代数化第三,三角函数的图象与性质它不同于第二点中所述的三角函数的性质,是函数变化过程中不变的规律,包括单调性、奇偶性(对称性)、最大(小)值、周期性等等第四,掌握了三角函数之后,就可以应用它解决问题了按照如下的路径展开:事实(周期性现象)角与弧度数学对象(三角函数的定义)图象与性质(周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等)三角恒等变换联系应用”其中,“角与弧度”是刻画圆周运动的预备知识,而“三角恒等变换”是三角函数的特殊研究内容
3、2依据课标,本章的定位、核心素养、思想方法、育人价值是怎样的?在课标中“三角函数”属于必修主题二“函数”中的内容,函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,而三角函数是用来刻画现实世界中周期变化现象,是一类最典型的周期函数本章是多种数学素养培养的载体,具体可以用下表表示:核心素养载 体数学抽象任意角、弧度制、三角函数概念的形成数学建模三角函数概念的形成、函数y=Asin (x+)、三角函数的应用直观想象诱导公式、三角函数的图象与性质、函数y=Asin (x+)逻辑推理诱导公式、三角恒等变换数学运算诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换本章蕴含着丰富的数学思想方法,特别
4、是分类讨论、数形结合和化归转化,等在研究过程中,充分应用了类比、联系、推广、化归等数学研究中的常用方法比如,通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制;联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路;在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法;研究函数y=Asin(x+)的图象,按照ysin xysin(x+)ysin(x+)y=Asin(x+)的线索展开,体现了从简单到
5、复杂,由特殊到一般的思想方法三角函数是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数,通过本章的学习,学生能进一步理解函数是刻画现实世界规律的重要模型,能巩固并丰富研究函数的方法,提升学生的数学思维水平3本章知识与其他知识之间有什么联系?怎样把握教学的深度和广度?首先,三角函数是刻画周期现象的数学模型,那么它与初中学习的锐角三角函数是什么关系?锐角三角函数,是用直角三角形边长的比来刻画的,它与“解三角形”有直接关系而任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系但是按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦、余弦、正切,与按本章三角函数定义求得的值相等第二,三角函数自身的
6、内容,在本章将完整地学习,并且要达到对三角函数概念本质的理解,准确掌握图象、性质和公式,这样在后续其他主题中才能灵活地应用第三,三角函数与其他学科有紧密联系由于周期现象在现实中广泛存在,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等,这些是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象,因此教学中应充分利用学生的生活经验以及其他学科的知识,使三角函数的学习建立在丰富的背景上从学生的实际来看,由于可能会缺乏某些学科知识,因此在教学中要注意借助信息技术形象化地说明周期变化4本章的学习目标有哪些?根据课标,本章的学习目标如下:(1)角与弧度了解任意角的概念和弧度制,能进
7、行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性(2)三角函数概念和性质借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、奇偶性借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(,2的正弦、余弦、正切)借助图象理解正弦函数在0,2上、余弦函数在-,上、正切函数在(-2,2)上的性质结合具体实例,了解y = A sin(x+)的实际意义;能借助图象理解参数,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响(3)同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式:sin2x + cos2x = 1,(4)三角恒等变换经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公
8、式的意义能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,不要求记忆这三组公式)(5)三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型5三角函数是刻画哪一类变化规律的?其定义的形成有什么改变?三角函数是刻画事物周期变化规律的数学模型大纲版的教科书中,任意角的三角函数是通过终边上点的坐标比定义的2003版课标的教科书中,三角函数的概念是由锐角三角函数的定义推广得到的2017版课标的教科书中,是直接从建立周期现象的数学模型
9、出发,利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数并且是直接利用圆周运动进行定义的,突出了三角函数的本质首先,圆周运动是周期性变化现象的典型代表,选择单位圆上点的圆周运动作为载体是不失一般性的,这是一个数学抽象的过程;第二,用单位圆上运动的点的坐标定义正弦函数、余弦函数,清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系;第三,如果是弧度数,即xOP= rad,那么正弦函数、余弦函数就是关于任意实数的函数,这时的自变量和函数值都是实数,这就与函数的一般概念完全一致了6单位圆在这一章的研究中起着怎样的作用?在任意角、任意角的三角函数、三角函数的性质
10、(周期性,单调性、最大值、最小值等)、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象、两角差的余弦公式等,都可以借助单位圆得到认识,这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因首先,在引进弧度制时就渗透了单位圆,并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念,然后直接由单位圆引出三角函数定义接着,三角函数诱导公式是圆的特殊对称性的代数化先利用单位圆的对称性发现新的角,然后利用单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式,因此诱导公式二公式六都与单位圆上的对称图形(即角的终边的对称性)联系在一起,从而使这五组公式形成一个有机整体再者,两角差的余弦公式是利用单位圆的旋转对称性(任意一个圆绕着圆心旋转任意角后都与原来
11、的圆重合的性质)进行推导首先以单位圆的圆心为顶点、x轴的非负半轴为始边画出角,然后根据三角函数的定义写出角,的始边和终边与单位圆的交点A,P1,A1,P的坐标,接下来,利用圆的旋转对称性,得到等量关系:AP=A1P1,最后根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式可见,以单位圆的几何直观为纽带,将三角恒等变换与整个三角函数内容融为一体7本章中众多公式之间的关系是怎样的?可以说本章中其他公式都是两角差的余弦公式的推论如图所示(1)从两角差的余弦公式,通过整体代换,可以推导出两角和的余弦公式,进而得到两角和与差的正弦、正切公式(2)在两角和的正弦、余弦和正切公式中,令角,相等,可以得到相应的二倍角公
12、式,以及这些公式的变式(3)在两角和与差的公式中,给角或赋特值,就可以得到诱导公式,即诱导公式是特殊的两角和的正弦、余弦、正切公式(4)从两角差的余弦公式中,令=可以得到同角三角函数关系可见,和角、差角、倍角的三角函数及同角三角函数关系、诱导公式之间存在紧密的内在联系,要善于运用数学内在的逻辑关系展开探索发现,比如你可以沿着上述的知识结构图进一步探索,还可以拓展研究思路和办法,比如对它们进行运算,一定会有意外的惊喜这是学数学的方法之一,也是乐趣所在8与2003年课标下的教科书相比,本章内容主要有哪些变化?与按照2003年颁布的课程标准编写的教科书相比,本章内容主要有如下一些变化:(1)弧度制:
13、强调引入弧度制的必要性,加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性;(2)三角函数的定义:直接从建立周期现象的数学模型出发,利用单位圆上点的坐标定义三角函数,然后再建立与锐角三角函数的联系; (3)正弦线、余弦线和正切线:根据课程标准(2017年版)的设置,删除正弦线、余弦线和正切线;(4)诱导公式:从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式,即通过把圆的对称性“代数化”,获得诱导公式;(5)正弦函数的图象:体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系图象是函数的一种表示法,先根据定义画出任意一点,掌握了任意一点的作法原理后,通过选择具体的、足够多的点进行描点
14、,最后借助技术描任意多的点,连续成线画三角函数的图象,这里加强了信息技术的应用;(6)三角恒等变换:一以贯之地强调单位圆的作用,两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性导出;(7)函数y=Asin(x+):为体现数学建模的过程,在本节的开始先借助筒车运动的实际背景探究匀速圆周运动的函数模型,体现函数y=Asin(x+)的现实背景,然后借助信息技术研究参数A,对函数y=Asin(x+)图象的影响,最后以摩天轮为实际背景,应用这个模型解决典型的周期性变化的实际问题; (8)三角函数的应用:体现三角函数应用的层次性,有关三角函数应用的问题大致分成三类:第一类是匀速圆周运动的问题,如筒车匀速圆周运动的问题;
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