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1、目录第一部分名校考研真题第1章波函数与Schrdinger方程第2章一维势场中的粒子第3章力学量用算符表达第4章力学量随时间的演化与对称性第5章中心力场第6章电磁场中粒子的运动第7章量子力学的矩阵形式与表象变换第8章自旋第9章力学量本征值问题的代数解法第10章微扰论第11章量子跃迁第12章其他近似方法第二部分课后习题第1章波函数与Schrdinger方程第2章一维势场中的粒子第3章力学量用算符表达第4章力学量随时间的演化与对称性第5章中心力场第6章电磁场中粒子的运动第7章量子力学的矩阵形式与表象变换第8章自旋第9章力学量本征值问题的代数解法第10章微扰论第11章量子跃迁第12章其他近似方法第三
2、部分章节题库第1章波函数与Schrdinger方程第2章一维势场中的粒子第3章力学量用算符表达第4章力学量随时间的演化与对称性第5章中心力场第6章电磁场中粒子的运动第7章量子力学的矩阵形式与表象变换第8章自旋第9章力学量本征值问题的代数解法第10章微扰论第11章量子跃迁第12章其他近似方法第四部分模拟试题曾谨言量子力学教程(第3版)配套模拟试题及详解(一)曾谨言量子力学教程(第3版)配套模拟试题及详解(二)第一部分名校考研真题第1章波函数与Schrdinger方程一、选择题1光子和电子的波长都为5.0埃,光子的动量与电子的动量之比是多少?()中南大学2009研A1B31010C3.310-11
3、D8.710-21【解析】由德布罗意波长公式,波长相同则二者动量大小必定相同,因此答案选A2考虑如图的电子干涉实验,电子从距屏为L的电子枪发射,屏上有两个特别窄的狭缝(缝宽为电子的德布罗意波长数量级),观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处如果电子枪向上移动(沿y方向)距离d,则干涉图样()中南大学2009研A【答案】图1-1A向上移动距离dB向下移动距离dC向上移动距离d2D向下移动距离d23上题中,如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子,则()中南大学2009研A干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B干涉图样向上移动C干涉图样变蓝B【答案】分析未移动前位于屏幕正中间的点,令偏上的光线为a,偏
4、下的光线为b,未移动前,a和b的光程相等,电子枪上移后,a在狭缝左边光程减小,b在狭缝右边光程增加,为保证a和b光程再次相等,应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加,于是干涉图样只能下移再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等,于是整个装置具有对称性,为保证a和b的光程相等,干涉图样只能向下移动距离d【解析】D干涉图样消失【解析】A项,由德布罗意波长公式以及可知,当能量E增加后,动量p增加,导致电子的德布罗意波长 减小,而干涉条纹间距,因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小B项,电子能量增加并不会对光程产生影响,故不影响干涉图像位置C项,电子能量增加并不会改变屏的特征光谱,不会变蓝D项,题
5、中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级,在电子能量变化不是很大时,电子波长应该仍与狭缝间距相当,干涉图样不会消失4题2中,如果两缝之间距离加倍,则干涉图样中相邻最大值之间距离()中南大学2009研A加倍B为原来的四倍C为原来的二分之一D不变【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距,则显然当d加倍时,必定导致条纹间距变为原来的二分之一5题2中,如果每个缝宽度加倍则干涉图样中相邻最大值之间距离()中南大学2009研A加倍A【答案】C【答案】B为原来的四倍C为原来的二分之一D不变【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距,则显然条纹间距与缝的宽度无关,即条纹间距不变
6、6题2中,如果只有一个缝的宽度加倍(原来两缝宽度相同),则()中南大学2009研A干涉图样消失B干涉图样中相邻最大值之间距离改变C干涉图样向变宽狭缝移动D干涉图样的最大强度与最小强度之差减小【解析】A项,缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件电子波长与缝的间距相近,干涉条纹不会消失B项,同样由条纹间距可知,条纹间距也不会有变化C项,缝宽度变化也不会影响光程,干涉图样位置也不会因此发生变化D项,只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同,因而最小强度无法变为0,最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小7题2中,如果探测器置于某一狭缝的旁边,由此可确定某一电子D【答案】D【答案】是否
7、通过该狭缝,则()中南大学2009研A干涉图样向装探测器的狭缝移动B干涉图样中相邻最大值之间距离改变C干涉图样消失D干涉图样变弱【解析】由题意,通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定,以至于电子波长和频率会受到极大干扰,从狭缝射出的光波将不再是相干光,而干涉图样产生的重要条件之一就是参与干涉的光必须是相干光,因而干涉图样消失二、填空题1普朗克的量子假说揭示了微观粒子_特性,爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_性中南大学2010研【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说,爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上,并因此获得诺贝尔奖,二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献,这位
8、量子力学的诞生奠定了基础2对一个量子体系进行某一物理量的测量时,所得到的测量值肯定是_当中的某一个,测量结果一般来说是不确定的除非体系处于_中南大学2010研C【答案】粒子性;波粒二象性【答案】 三、简答题1什么是定态?若系统的波函数的形式为,问(x,t)是否处于定态?湖南大学2009研答:体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态,定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化不是,体系能量有E和-E两个值,体系能量满足一定概率分布而并非确定值2试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由南京大学2009研答:量子态的叠加原理:若为粒子可能处于的态,那么这些态的任意线性组合仍然为粒
9、子可能处于的态叠加系数不依赖于时空变量因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合,即表明了叠加系数不依赖于任何变量四、计算题设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态本征值;定态【答案】物理量的测量值应该对应其本征值,对于非定态,由于它是各个本征态的混合态,这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值,测得各个本征值满足一定概率分布,只有当体系处于定态,即位于该物理量对应的本征态,测得值才有可能为确定值【解析】叠加,其中为实参数(1)求t时刻的波函数(x,t)(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率(3)求演化成-(x,t)所需的最短时间tmin中科院2010研解:(1)一维谐振子定态能量和波
10、函数: 任意时刻t的波函数可表示为 已知t0时刻的波函数是由得,在n0,1的本征态的相应能量分别为: ,则任意时刻t的波函数可以表示为 (2)t时刻处于基态的几率为,处于第一激发态的几率(3)设时刻粒子的波函数是,即更多各类考试资料 v:344647 公众号:顺通考试资料 可得,解得所以当n1时有最小时间,即第2章一维势场中的粒子一、选择题一维自由电子被限制在x和xx处两个不可穿透壁之间,x0.5埃,如果E0是电子最低能态的能量,则电子的较高一级能态的能量是多少?()中南大学2009研A2E0B3E0C4E0D8E0【解析】一维无限深方势阱中能级公式为,则可知,较高级能量与基态能量比值为,由题
11、意,基态能量为,则第一激发态能量为二、填空题1自由粒子被限制在x和x1处两个不可穿透壁之间,按照经典物理如果没有给出其他资料,则粒子在x和x13之间的概率是_中南大学2010研A025B033C【答案】C011D067【解析】按照经典力学,粒子处于空间的概率密度为常数,故概率与体积成正比,即所求概率为2上题中,按照量子力学处于最低能态的粒子在x和xl/3之间被找到的概率是_中南大学2010研A019B072C033D050【解析】取x为原点,则有波函数为所求概率即三、计算题1在一维情况下,若用Pab(t)表示时刻t在axb区间内发现粒子的几率B【答案】A【答案】(a)从薛定谔方程出发,证明J(
12、a,t)-J(b,t),其中J(x,t)是几率流密度(b)对于定态,证明几率流密度与时间无关华南理工大2009研解:(a)设t时刻粒子的波函数,波函数满足薛定谔方程: (1)对(1)两端取复共轭得, (2)做运算得上式两边同除以移项得,则几率流密度公式为,上式可表示为,两端积分得:又由于t时刻在区间(a,b)内发现粒子的几率为:代入上式可得,(b)对于定态波函数,代入几率流密度方程可得,是一个与t无关的量,故定态的几率流密度与时间无关2.证明(x)A(22x2-1)是线性谐振子的本征波函数,并求此本征态对应的本征能量式中A为归一化常数,华南理工大2009研解:已知线性谐振子的定态波函数和本征能
13、量为,本题中波函数所以是线性谐振子的本征波函数,对应量子数n2,因此容易得到其,本征能量为3质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动(a)建立适当的坐标系,写出哈密顿算符,求解定态薛定谔方程(b)当粒子处于状态(x) 1(x) 2(x)时,求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率其中1(x)和2(x)分别是基态和第一激发态(c)若上式的(x)是t0时刻的波函数,求粒子在其后任意时刻的波函数华南理工大学2010研解:(a)如图建立坐标系,图2-1设,哈密顿算符波函数满足薛定谔方程当时,0;当时, 令,则 的通解可表示为利用边界条件得, 由归一化可解得,定态薛定谔方程的解为对应的定态能量为(b
14、)当粒子处于态时,能量的可能值及几率为:几率1/4 ; 几率3/4(c)任意时刻t的波函数可以表示为下面形式,其中,在此题中,故任意时刻t的波函数,其中4粒子的一维运动满足薛定谔方程:(1)若1(x,t)和2(x,t)是薛定谔方程的两个解,证明与时间无关(2)若势能V不显含时间t,用分离变数法导出不含时的薛定谔方程,并写出含时薛定谔方程的通解形式华南理工大学2011研解:(1) 证:取式(1)之复共轭,得即0所以与时间无关(2)设代入薛定谔方程,分离变量后,得E为既不依赖t,也不依赖r的常数这样,所以因此,通解可以表示为其中,是满足不含时的薛定谔方程5考虑一维双势阱:V(x)V0(xa)(xa
15、),其中V00,a0(1)推导在xa处波函数的连接条件(2)对于偶宇称的解,即(x)(x),求束缚态能量本征值满足的方程,并用图解法说明本征值的数目华南理工大学2011研解:(1)薛定谔方程可表示为为方程的奇点,在xa点处对上述方程积分得出(2)由题意知当xa时,因此解为当-axa时,因此解为结合xa处的边界条件和此处的波函数连续条件,可得化去A,C后可得,此即能量本征值所需要满足的方程 图2-2所以满足此方程的本征值只有一个6验证球面波满足自由粒子的薛定谔方程:(注:,其中代表仅与角度有关的微分算符)北京航空航天大学 2008研解:故 (1)则故 (2)E (3)由(1)(2)(3)式可得,
16、此即所需证明方程.7一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和对应的波函数湖南大学2009研解:由一维定态薛定谔方程有(0 x2a)又在边界处应该满足连续条件故,0 x2a由归一化条件有故对应能量为8设一维简谐振子的初始(t0)波函数为其中n(x)为简谐振子的三个(n0,1,2)最低能量的定态波函数试求(1)系数A?(2)t时刻的波函数(x,t);(3)t时刻的能量平均值南京大学2009研解:(1)由波函数的正交归一化条件有故.(2)一维谐振子能量为故t时刻波函数为 .(3)各自对应概率为,均与时间无关,故t时刻粒子能量平均值为.9设无外势场时,质量为能量为E0的粒子的状态用球面波描写试(1
17、)导出决定S波(l0)波函数的常微分方程;(2)求出所有S波的球面波波函数;(3)计算对应于S波解的速度流矢量并作出图示南京大学2009研解:(1)无外势场可看做有心势场的特殊情况则粒子在球坐标系中薛定谔方程为在s波情况下,l0,令,则.(2),故对应波函数为其中A为归一化系数(3)概率概率流密度公式为球坐标系中明显与角度无关,故对应概率流密度的三个分量为 而,故,同理.10设粒子从x-入射,进入一维阶跃势场:当x0时,V(x)0;而当x0时,V(x)V0(V00)如果粒子能量EV0,试(1)写出波动方程式并求解;(2)求透射系数;(3)求反射系数并求与透射系数之和南京大学2009研解:(1)
18、粒子波动方程为令则方程的解为其中第一部分为入射波,第二部分为反射波,此即透射波函数由波函数连续及波函数导数连续有,即解得则波函数为,其中.(2)由概率流密度公式可知入射波函数概率流密度为:;反射波函数概率流密度为:;透射波函数概率流密度为:;透射系数即.(3)反射系数即显然RT1.11一质量为m的粒子,可在宽为a无限深势阱当中自由运动在t0的初始时刻其波函数为其中A为实常数(1)求A使(x,0)满足归一化条件(2)如果进行能量测量,则能得到哪些能量值?相应取这些能量值的概率又是多少?再计算能量的平均值?(3)求t时刻的波函数(x,t)中南大学2010研解: (1)无限深方势阱中粒子的本征波函数
19、为初始时刻波函数可化为由归一化条件有解得A.(2)无限深方势阱中粒子的本征能量为.故粒子可能测得能量即测得能量的平均值为.(3)t时刻波函数为.第3章力学量用算符表达一、选择题1量子谐振子的能量是()中南大学2010研AEnh(n1/2)BEn(n1/2)CEnhv(n1/2)DEnv(n1/2)【解析】由于谐振子的哈密顿算符为,而本征值为n,于是谐振子能量为2下面关于厄米算符的定义式中正确的为()中南大学2010研ABCD【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符,这是因为力学量算符的本征值必须为实数厄米算符定义式为A【答案】A【答案】二、填空题1力学量算符必须是_算符,以保证它的本征
20、值为_中南大学2010研2在量子力学原理中体系的量子态用希尔伯特空间中的_来描述而力学量用_描述力学量算符必为_算符,以保证其_为实数中南大学2010研3当对体系进行某一力学量的测量时测量结果一般来说是不确定的测量结果的不确定性来源于_中南大学2010研厄米;实数【答案】力学量的测量值必须为实数,即力学量算符的本征值必须为实数,而厄米算符的本征值为实数,于是量子力学中就有了一条基本假设量子力学中所有力学量算符都是厄米算符【解析】函数矢量;张量(一般是二阶张量,即矩阵);厄米;本征值【答案】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态,力学量对应张量,一般情况下力学量对应二阶张量,也就是矩阵力学量算
21、符必须保证其厄米性,否则将导致测量值即其本征值不是实数,这显然不符合事实【解析】测量的干扰【答案】当我们对物理量进行测量时,不可避免地对体系施加影响,而这影响将导致体系的波函数发生变化,这最终导致对物理量的测量的不确定性【解析】三、简答题1写出角动量的三个分量,的对易关系湖南大学2009研答:这三个算符的对易关系为,2量子力学中的力学量算符有哪些性质?为什么需要这些性质? 南京大学2009研答:量子力学中力学量算符为厄米算符,因而具有所有厄米算符的性质量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的,比如,力学量的平均值为实数,因而对求平均值的式子求共轭后,其值应该不变,而求
22、平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符四、计算题1对于角动量算符,(a)在直角坐标系中,推导各分量之间的对易关系,并归纳出统一的表达式(b)定义升降算符LLxiLy,利用对易关系Lz,L和L2,L证明:若f是L2和Lz的共同本征态,则Lf也是L2和Lz的本征态(c)在球坐标系中,求解Lz的本征方程华南理工大学2010研解:(a)由得, ,同理可得则的三个分量之间的关系通式为:,其中是LeviCivita符号,(b)若是和的共同本征函数,可设,则 ,可见是和的共同本征函数,本征值分别为和 (c)在球坐标中,代入的本征方程得 利用周期性边界条件可得由归一化条件可得,则的本征态为相应的本
23、征方程为2(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数(2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交(3)对于角动量算符,证明它是厄米算符,并且求解其本征方程华南理工大学2011研解:(1)证:对于厄米算符,因为存在,所以,即本征值为实数 (2)证:(3)因为设本征方程为C为积分常数,可由归一化条件决定又因为波函数满足周期性边界条件的限制,由此可得,即角动量z分量的本征值为,是量子化的,相应本征函数记为再利用归一化条件可得,即为其本征函数相应的本征方程为3(1)设与pauli算符对易,证明;(2)试将表示成的线性叠加其中为单位算符中科院2010研(1)证:利用化简可得:(2)解:4(1)求
24、算符和的对易关系(2)证明,其中北京航空航天大学2008研(1)解:即算符 与 不对易(2)证:则得证5一粒子处于势场V(x)中,且势V(x)没有奇点假设n(x)与m(x)是束缚态的波函数,相应的本征能量色EnEm试证明这两个波函数对应的态矢正交武汉大学2008研解:由题意 I II并在方程两边同时积分有考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式II有又,则 III设粒子本征波函数完备集为,则由正交归一化条件有 IV态矢为,态矢为即 VIV、V代入III有此即,亦即两个波函数对应态矢正交6一体系初始时刻的态为(1)求(,)?其中x iy(2)如果对z测量,能得到哪些结果?相应的概率又是多少?(3)
25、如果对z进行了测量,并得到结果lz,计算不确定度Lx和Ly及它们的乘积Lx Ly中南大学2010研解:(1)由公式可得故(2)由题意,m 1,0,1而本征值为,故可能测得值为(3)易知于是有 因此 第4章力学量随时间的演化与对称性一、选择题对力学量进行测量要能得到确定结果的条件是()中南大学2010研A体系可以处于任一态B体系必须处于宏观态C力学量必须是守恒量D体系必须处于的本征态【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果,则要求体系必须处于定态,而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态二、简答题什么是费米子?什么是玻色子?两者各自服从什么样的统计分布规律?湖南大学2009研答:费米子是自旋
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