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1、专题07 大题专攻(四)(解决极值点偏移问题的四大技巧)目录题型一:构造对称和(或差)题型二:比值代换法题型三:消参减元题型四:对数平均不等式应用体验 精选好题做一当十题型一:构造对称和(或差)1(2021山西太原五中高三月考(理)设函数(1)当有极值时,若存在,使得成立,求实数的取值范围;(2)当时,若在定义域内存在两实数满足且,证明:【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】(1)定义域为,当时,即在上单调递增,不合题意,;令,解得:,当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,;存在,使得成立,则,即,又,即,令,则,在上单调递增,又,即实数的取值范围为.(2)当时,则,当时,;当时,;
2、在上单调递增,在上单调递减,由且知:;令,则,在上单调递增,即;,又,;,又且在上单调递减,即.2(2021北京临川学校高三期末)已知函数(1)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;(2)若函数存在两个极值点,求证:【答案】(1);(2)证明见解析【详解】解:(1)易知的定义域为,由题意知,即在上恒成立,令,则当时,单调递增;当时,单调递减,所以当时,有最小值,所以;(2)因为,由知,设则,且在上单调递增,在上单调递减,所以可令,令,则因为,所以,所以上在单调递减,且,所以时,又,所以所以所以因为,且在上单调递增,所以,3(2021全国全国模拟预测)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)
3、求函数的单调区间和极值;(2)设方程的两个根分别为,求证:.【答案】(1)的单调递增区间为,;单调递减区间为,极大值为,极小值为;(2)证明见解析.【详解】(1)由题意得:,令,解得:,当时,;当时,;的单调递增区间为,;单调递减区间为;的极大值为;极小值为;(2)当时,令,解得:,当时,方程的两个根在区间内.设函数,则,.令,则,在上为增函数,又,则当时,;当时,;当时,当时,当时,在上单调递减.不妨设,在上单调递减,在上单调递增,又,由(1)知:在上单调递增,.题型二:比值代换法1(2021全国高三月考)已知函数(1)若,(为的导函数),求函数在区间上的最大值;(2)若函数有两个极值点,求
4、证:【答案】(1)当时,;当时,;当时,;(2)证明见解析【详解】(1)因为,当时,因为,所以,所以函数在上单调递增,则;当,即时,所以函数在上单调递增,则;,当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减,则;当,即时,函数在上单调递减,则综上,当时,;当时,;当时,.(2)要证,只需证:,若有两个极值点,即函数有两个零点,又,所以是方程的两个不同实根,即,解得,另一方面,由,得,从而可得,于是不妨设,设,则因此,要证,即证:,即当时,有,设函数,则,所以为上的增函数注意到,因此,于是,当时,有所以成立,2(2021全国高三专题练习)已知函数有两个零点,.(1)求的取值范围;(2)求证:.【答案】
5、(1);(2)证明见解析.【详解】(1)有两个零点有两个相异实根令,则由得:,由得:,在单调递增,在单调递减,又,当时,当时,当时,有两个零点时,实数a的取值范围为(2)不妨设,由题意得, ,,,要证:,只需证.,令,只需证,只需证:.令,,在递增,成立.综上所述,成立3(2021安徽毛坦厂中学高三月考(理)已知函数().(1)若,求函数在处的切线;(2)若有两个零点,求实数的取值范围,并证明:.【答案】(1);(2),证明见解析.【详解】(1)的导数为,则函数在处的切线斜率为,又切点为,则切线的方程为,即;(2)设函数,与函数具有相同的零点,知函数在上递减,上递增,当,;可证当时,即,即此时
6、,当时,有两个零点,只需(1),即;证明:方法一:设函数,则,且对恒成立即当时,单调递减,此时,(1),即当时,由已知,则,则有由于函数在上递增,即,即方法二:故设,则,且,解得,要证:,即证明,即证明,设,令,则,在上单调增,(1),在上单调增,则(1)即时,成立,题型三:消参减元1(2021湖南师大附中高三月考)已知函数(1)若恒成立,求实数的取值范围(2)若函数的两个零点为,证明:【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】(1)解:因为恒成立,所以,即恒成立令,则,易知在上单调递增,且所以当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,故(2)证明:由题意可知方程的两根为,令,则的两
7、个零点为,当时,在上单调递增,不存在两个零点;当时,在上单调递增,在上单调递减,则,得设,则,因为,所以,要证,即要证,即证令,则,所以在上单调递减,所以因为,所以因为,且在上单调递减,所以,即,故成立2(2021浙江模拟预测)已知函数.(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:;(3)设函数的两个零点、,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析(1)解:由可得,可得,令,其中,则,当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,所以,;(2)解:要证,即证,由(1)可知,当且仅当时,等号成立,令,其中,则,当时,此时函数单调递增,当时,此时函数单调递减,所以,
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