微专题15 抽象函数与嵌套函数.docx
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1、微专题15 抽象函数与嵌套函数【知识拓展】1.抽象函数常以选择题形式考查,主要涉及抽象函数的单调性、对称性和周期性.2.嵌套函数以小题形式出现,主要考查复合函数的单调性及零点或方程根个数,多为中低档题.【类型突破】类型一抽象函数例1 (1)(2023长春三监)对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足f(x)f(y)f(xy)xy1,若f(1)1,则满足f(n)n(nN)的n的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2)(2023青岛适考)设函数f(x)是定义在整数集Z上的函数,且满足f(0)1,f(1)0,对任意的x,yZ都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y),则f(3)_;_.
2、答案(1)A(2)0解析(1)令x1x1xx20且均属于N*,y1,则f(x2)f(1)f(x1)x21,所以f(x1)f(x2)x220,故f(x21)f(x1)f(x2)x22,又f(1)1,故f(x)0在xN*上恒成立,且f(x)在xN*上单调递增,所以满足f(n)n(nN)仅有f(1)1.(2)令xy1,f(2)f(0)2f2(1),f(2)1,令x2,y1,f(3)f(1)2f(2)f(1),f(3)0,令y1,则f(x1)f(x1)0,即f(x1)f(x1),可得f(x2)f(x),f(x)f(x2)f(x4),f(x)的周期T4,f(1)0,f(2)1,f(3)0,f(4)1,x
3、为奇数时,f(x)0.n为奇数时,n2也为奇数,此时f(n2)0;n为偶数时,n2为4的整数倍,此时f(n2)1.f(12)f(22)f(2 0232)01010101 011,n2(n1)22n22n12n(n1)1,由nZ,则n(n1)为偶数,记n2(n1)22n(n1)14kn1,knZ,12222 0232(1222)(3242)(2 02122 0222)2 02324(k1k3k2 021)4 093 5404(k1k3k2 0211 023 385)f(12222 0232)f(4(k1k3k2 0211 023 385)f(0)1,所以.规律方法(1)常用赋值法、函数模型法.(
4、2)常需推断其单调性、周期性.训练1 (1)(多选)(2023杭州二中测试)已知定义域为R的函数f(x)在(1,0上单调递增,f(1x)f(1x),且图象关于(2,0)对称,则关于f(x)的说法正确的是()A.f(0)f(2)B.f(0)f(2)C.周期T2D.在(2,3)上单调递减(2)(2023大连质检)已知f(x)的定义域为R,值域为(0,),且f(xy)f(xy)f2(x),f2,函数g(x)f(x)f(x)的最小值为2,则f()A.12 B.24 C.42 D.126答案(1)ABD(2)D解析(1)由f(1x)f(1x),可得f(x)的对称轴为x1,所以f(0)f(2),A正确;又
5、由f(1x)f(1x)知f(2x)f(x),因为f(x)的图象关于(2,0)对称,则f(2x)f(2x),故f(4x)f(x),所以f(2x)f(4x),即f(x)f(2x),所以f(x)f(x4),所以f(x)的周期为4,所以f(2)f(2),又f(0)f(2),所以f(0)f(2),故B正确,C错误;因为f(x)在(1,0上单调递增,且T4,所以f(x)在(3,4上单调递增,又图象关于(2,0)对称,所以f(x)在(0,1上单调递增,因为f(x)关于x1对称,所以f(x)在(1,2上单调递减,又因为关于(2,0)对称,可得f(x)在(2,3)单调递减,故D正确.(2)法一令x0,有f(y)
6、f(y)f2(0),则f(x)满足f(x)f(x)f2(0),又因为f(x)f(x)22f(0),所以f(0)1.因为f(xy)f(xy)f2(x),所以,所以2,所以f248163264126.法二抽象出特殊函数f(x)4x,其满足题目要求,从而快速求得答案f248163264126.类型二嵌套函数例2 (多选)(2023镇海中学统测)已知函数f(x)方程f(x)22af(x)0(aR)有两个不等实根,则下列说法正确的是()A.点(0,0)是函数f(x)的零点B.x1(0,1),x2(1,3),使f(x1)f(x2)C.x2是f(x)的极大值点D.a的取值范围是答案BC解析当x0,f(x)单
7、调递增,当x(2,0)时,f(x)0,f(x)单调递减,且f(2),f(0)0;当x1时,f(x),则f(x),当x(1,2)时,f(x)0,f(x)单调递增,且f(1)e,f(2),且f(x)0恒成立,画出函数图象如图.对于A,由函数图象可得0是函数f(x)的零点,故A错误;对于B,由图可得f(x1)(0,e),f(x2),故x1(0,1),x2(1,3),使f(x1)f(x2),故B正确;对于C,由图可得x2是f(x)的极大值点,故C正确;对于D,方程f(x)22af(x)0(aR)等价于f(x)0或f(x)2a,由图可得f(x)0有1个实数根x0,所以方程f(x)22af(x)0(aR)
8、有两个不等实根等价于f(x)2a有1个非零实根,则由图可得2ae,即a,故D错误.规律方法两个函数的嵌套函数,一要清楚内外函数的性质,由内到外分析,二注意数形结合.训练2 (多选)(2023南京二模)已知函数f(x)|exa|,a0.下列说法正确的为()A.若a1,则函数yf(x)与y1的图象有两个公共点B.若函数yf(x)与ya2的图象有两个公共点,则0a1,则函数yf(f(x)有且仅有两个零点D.若yf(x)在xx1和xx2处的切线相互垂直,则x1x20答案BCD解析对于A,f(x)|ex1|1,故ex0(无解)或ex2,xln 2,A错误;对于B,f(x)|exa|a2,故exa2a或e
9、xa2a,故且a2aa2a,解得0a1,则xln a0,设g(x)xln x,g(x)10在(1,)上恒成立,则g(x)在(1,)上单调递增,则g(x)g(1)10,故aln a,yf(f(x)0,则f(x)|exa|ln a,xln(aln a)或xln(aln a),C正确;对于D,当ex1a和ex2a同时为正或者同时为负时不成立,不妨设f(x1)ex1a,f(x1)ex1,f(x2)ex2a,f(x2)ex2,则f(x1)f(x2)ex2ex1ex1x21,故x1x20,D正确.【精准强化练】一、基本技能练1.(2023如皋中学检测)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x1)f(x)f(
10、1),f(x)f(x)f(0),当x时,f(x)2x,则f()A. B. C. D.答案B解析由f(x1)f(x)f(1),有f(x2)f(x1)f(1),可得f(x2)f(x),所以f(x)的周期为2.令x0,代入f(x)f(x)f(0),可得f(0)0,所以f(x)f(x)0,故函数f(x)为奇函数,ff(log218)f(log218)f(log2184)f.因为0log2log2,所以f2log2,所以f.2.(2023东北三省三校二模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x),且在0,1上单调递减,若方程f(x)10在0,1)有实数根,则方程f(x)10在区间1,11)上所
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